O pensamento algébrico no ensino de cálculo mental em atividades da obra Arithmetica Elementar - livro I (1919), de Georg August Büchler

Abstract

Resumo: Este trabalho busca compreender elementos algébricos presentes em atividades de aritmética que mobilizam os conhecimentos de cálculo mental na obra Arithmetica Elementar - Livro I (1919), de Georg August Büchler (1884-1962), sob a perspectiva de base teórico-metodológica da História Cultural. Interpretando e questionando as rupturas e permanências do passado, propõe-se a articulação entre práticas sociais e representações simbólicas como um mecanismo de estudo de atividades presentes na obra a partir dos conhecimentos do cálculo mental a fim de desenvolver o pensamento algébrico. As atividades do livro mostram as práticas de escolarização, orientadas por meio das concepções pedagógicas vinculadas ao método intuitivo de Pestalozzi. Amparada pelos aportes de Valente, discute-se a noção de operação historiográfica, o conceito de disciplina escolar e de cultura escolar atrelada ao uso do livro didático. A pesquisa analisa o livro como componente da cultura escolar, de acordo com as bases curriculares da época (Paraná; 1917; 1923) e as políticas de avaliação e circulação do livro didático nacional, especialmente no âmbito da CNLD. Para realizar a análise das atividades presentes no livro de Büchler, foram mobilizadas pesquisas que discutem o cálculo mental e autores que relacionam o campo do desenvolvimento do pensamento algébrico. A metodologia contempla duas etapas principais: (i) a construção de um inventário de produções acadêmicas sobre Büchler, a fim de compreender a circulação, apropriação e permanência de sua obra no Brasil; e (ii) a análise de atividades presentes na obra, buscando identificar estratégias de cálculo mental que favoreçam a generalização, a decomposição numérica e o desenvolvimento de propriedades algébricas. Para ilustrar os conhecimentos aritméticos e algébricos mobilizados nas atividades, estes foram organizados em sete categorias identificadas a partir da análise sobre cálculo mental e pensamento algébrico: (1) método intuitivo de Pestalozzi; (2) fatos básicos e relação entre adição e subtração; (3) decomposição ou família do número; (4) número faltante com variação da pergunta; (5) senso numérico; (6) rede de relações do 10; e (7) padrões numéricos. As análises da obra de Büchler mostram que as atividades aritméticas mobilizam diversos conhecimentos de cálculo mental de forma integrada. Ao trabalhar fatos básicos, composição/decomposição, variação da pergunta e a rede de relações numéricas do 10, o autor explora relações entre adição e subtração, família do número, número faltante, comutatividade e padrões numéricos. Esses conhecimentos não são abordados de modo linear, mas articulados de forma criativa, partindo do concreto, seguindo o método intuitivo, até alcançar o nível abstrato. Os resultados indicam que as atividades de aritmética contidas na obra de Büchler atuam na prática dos conhecimentos de cálculo mental e contribuem para o pensamento algébrico. O desenvolvimento do pensamento algébrico não começa apenas quando o estudante passa a operar com letras e símbolos, mas pode ser antecipado por meio de atividades de aritmética que envolvem cálculo mental

Abstract: This study seeks to understand algebraic elements present in arithmetic activities that mobilize mental calculation knowledge in the work Arithmetica Elementar - Livro I (1919) by Georg August Büchler (1884-1962), from the theoretical-methodological perspective of Cultural History. Interpreting and questioning the ruptures and continuities of the past, it proposes the articulation between social practices and symbolic representations as a mechanism for studying activities within this work, drawing on mental calculation knowledge to develop algebraic thinking. The book’s activities reveal schooling practices guided by pedagogical conceptions linked to Pestalozzi’s intuitive method. Supported by Valente’s contributions, the study discusses the notion of historiographical operation, the concept of school discipline, and school culture as tied to the use of textbooks. The research analyzes the book as a component of school culture, in accordance with the curricular guidelines of the period (Paraná, 1917; 1923) and the evaluation and circulation policies for national textbooks, particularly within the scope of the CNLD (National Textbook Commission). To analyze the activities in Büchler’s book, the study mobilizes research on mental calculation and authors who connect the field of algebraic thinking development. The methodology comprises two main stages: (i) compiling an inventory of academic productions on Büchler to understand the circulation, appropriation, and permanence of his work in Brazil; and (ii) analyzing the activities in the book to identify mental calculation strategies that favor generalization, numerical decomposition, and the development of algebraic properties. To illustrate the arithmetic and algebraic knowledge mobilized in the activities, these were organized into seven categories identified through the analysis of mental calculation and algebraic thinking: (1) Pestalozzi’s intuitive method; (2) basic facts and the relationship between addition and subtraction; (3) decomposition or number family; (4) missing number with question variation; (5) number sense; (6) network of relationships around 10; and (7) numerical patterns. The analyses of Büchler’s work show that the arithmetic activities mobilize various mental calculation knowledges in an integrated manner. By working with basic facts, composition/decomposition, question variation, and the network of numerical relationships around 10, the author explores relationships between addition and subtraction, number families, missing numbers, commutativity, and numerical patterns. These knowledges are not addressed linearly but are articulated creatively, starting from the concrete, following the intuitive method, and reaching the abstract level. The results indicate that the arithmetic activities in Büchler’s work practice mental calculation knowledge and contribute to algebraic thinking. The development of algebraic thinking does not begin only when the student starts operating with letters and symbols; it can be anticipated through arithmetic activities involving mental calculation