O método dos elementos finitos aplicado à equação da subdifusão para diferentes operadores fracionários

Abstract

Resumo: A difusão é um fenômeno natural que, em escala macroscópica, ocorre devido à presença de gradientes de massa ou energia em busca do equilíbrio de um sistema, enquanto, em escala microscópica, pode ser interpretada como um processo estocástico associado ao movimento aleatório das partículas. Os fundamentos matemáticos da difusão têm origem nos estudos de Fourier sobre o transporte de calor e, posteriormente, nas leis formuladas por Fick para a transferência de massa. No entanto, tais modelos clássicos mostram-se limitados na descrição de fenômenos complexos em meios porosos e não homogêneos, nos quais se observa um comportamento anômalo. Nesse contexto, o cálculo fracionário surge como uma ferramenta promissora ao empregar operadores diferenciais e integrais de ordem arbitrária, capazes de incorporar efeitos de memória e histerese aos modelos. Apesar de sua relevância, a diversidade de definições de derivadas fracionárias e a dificuldade em obter soluções analíticas ainda representam desafios, tornando os métodos numéricos essenciais. Este trabalho emprega o Método dos Elementos Finitos (MEF) para modelar processos de subdifusão descritos pelos operadores de Caputo, Caputo-Fabrizio e Atangana-Baleanu, aplicados à variável temporal da equação de difusão. As formulações baseadas em diferentes operadores são validadas por meio de problemas com solução analítica conhecida e comparadas entre si em modelos uni e bidimensionais, incluindo casos com anisotropia e diferentes malhas. Adicionalmente, é implementado um algoritmo para o cálculo eficiente da função de Mittag-Leffler, de destaque no cálculo fracionário devido à sua complexidade e importância na representação das soluções. Os resultados obtidos apresentaram boa convergência, com erro relativo inferior a 1% para diferentes tipos de discretização. Qualitativamente, a derivada de Atangana-Baleanu demonstra um comportamento subdifusivo mais restritivo, seguida pelas formulações de Caputo e Caputo-Fabrizio. Ressalta-se, contudo, que todas as simulações foram conduzidas a partir da substituição da derivada temporal de ordem inteira pelos operadores fracionários, e que questões relacionadas à aplicabilidade dessa abordagem em modelos físicos ainda são objeto de debate na literatura

Abstract: Diffusion is a natural phenomenon that, at the macroscopic scale, occurs due to the presence of mass or energy gradients driving a system toward equilibrium, while at the microscopic scale it can be interpreted as a stochastic process associated with the random motion of particles. The mathematical foundations of diffusion originate from Fourier’s studies on heat transport and, subsequently, from Fick’s laws of mass transfer. However, these classical models prove to be limited in describing complex phenomena in porous and non-homogeneous media, in which anomalous behavior is observed. In this context, fractional calculus emerges as a promising tool by employing differential and integral operators of arbitrary order, capable of incorporating memory and hysteresis effects into the models. Despite its relevance, the diversity of definitions of fractional derivatives and the difficulty in obtaining analytical solutions still represent significant challenges, making numerical methods essential. This work employs the Finite Element Method (FEM) to model subdiffusion processes described by Caputo, Caputo–Fabrizio, and Atangana–Baleanu operators applied to the temporal variable of the diffusion equation. Formulations based on different operators are validated through problems with known analytical solutions and compared in one- and two-dimensional models, including cases with anisotropy and different mesh discretizations. Additionally, an algorithm is implemented for the efficient computation of the Mittag Leffler function, which plays a prominent role in fractional calculus due to its complexity and importance in representing solutions. The results obtained show good convergence, with relative errors below 1% for different types of discretization. From a qualitative perspective, the Atangana–Baleanu derivative exhibits the most restrictive subdiffusive behavior, followed by the Caputo and Caputo–Fabrizio formulations. It is emphasized, however, that all simulations were conducted by directly replacing the integer-order temporal derivative with fractional operators, and that issues regarding the physical applicability of this approach remain the subject of debate in the literature