Numerical experiments for S&T decomposition

Abstract

Resumo: A nova decomposição, Decomposição Simétrica e Triangular (S&T), foi proposto por Golub e Yuan em [12], com o objetivo de fazer decomposição em matrizes non singular e não simétrica. Desta decomposição, toda matriz nonsingular pode ser apresentada pelo produto de uma matriz simétrica e uma matriz triangular. Além disso, a matriz simétrica nesta decomposição pode ser positiva definida. Eles pro / puseram dois algoritmos numéricos com as mesmas características para fazer esta decomposição. Por causa da instabilidade numérica, nós fizemos modificações em um dos algoritmos. Fizemos vários testes numéricos para o algoritmo do Golub-Yuan e nosso algoritmo modificado. Nós mostramos aqui o desempenho numérico de um destes algoritmos para alguns matrizes testes famosas. Todos os testes foram com parados com a decomposição LU sem pivoteamento. Para as matrizes simétricas, os resultados foram comparados também com a decomposição Cholesky. Para comparar os resultados, nós utilizamos algumas das matrizes mais comuns recomendados por Gregory e Kamey em [14], e também por Nicholas em [17, 18]. Os nossos experimentos numéricos mostram que o algoritmo S&T modificado é estável para matrizes esparsas cujos submatrizes principais são nonsingular. Para ma trizes densas nossas modificações apresentaram resultados melhores que o Algoritmo proposto por Golub and Yuan

Abstract : The new decomposition, Symmetric and Triangular Decomposition (S&T% has been proposed by Golub and Yuan in [12], with the objective of doing decomposi tion for nonsingular and nonsymmetric matrices. From this decomposition, every nonsingular matrix can be presented by a product of one symmetric matrix and one triangular matrix. Furthermore, the symmetric matrix in this decomposition can be positive definite. They have proposed two numerical algorithms with the same feature for the decomposition. For the sake of numerical stability, we modify the Golub-Yuan algorithm here. We do numerical tests for Golub-Yuan algorithm and our modified algorithm. We display here the numerical performance of one of these algorithms for some famous test matrices. Ali tests are compared with LU decompo sition without pivoting. For the symmetric matrices, the results are compared also with Cholesky decomposition. To compare the results, we emphasize some of the most common matrices recommended by Gregory and Karney in [14], and also by Nicholas in [17, 18]. It follows from our numerical tests that the modified S&T algorithm presented here is stable for sparse matrices whose leading principal submatrices are nonsingular. For dense matrices our modifications give some results much better than original Golub-Yuan algorithm