Pesquisa operacional aplicada à análise de portfólio

Abstract

Resumo: O presente trabalho trata da utilização da técnica de Programação Matemática da Pesquisa Operacional para a Análise de Portfólio com otimização da relação risco - retorno em carteiras de investimentos. São construídos portfólios otimizados segundo o critério de dominância de Pareto, para um parâmetro "Iradeoff" entre risco e retorno. Fazendo-se variar este parâmetro entre a máxima aversão, com portfólios de mínimo risco, à mínima aversão, com portfólios de máximo retorno, é obtido um conjunto de portfólios eficientes estratégicos a partir dos quais é construída a Fronteira de Eficiência dos Portfólios. Os modelos utilizados são o de Média-Variância (MV) proposto por Harry M. Markowitz (1959) e um modelo com base na metodologia de Valor sob Risco de J. P. Morgan (1994), supondo retornos dos portfólios modelados por uma distribuição log-normal e, portanto, não considerados derivativos e commodities. São utilizadas taxas de retorno correspondentes aos preços diários de fechamento de 63 ativos negociados na Bolsa de Valores do Estado de São Paulo - Bovespa - no período de 03/10/1997 a 29/12/2000, obtidos através do banco virtual www.lnvestShop.com.br. O modelo MV é formulado como um problema paramétrico de programação quadrática, sujeito a restrições lineares incluindo a restrição de orçamento, com solução através do algoritmo da Linha Crítica, proposto por Markowitz, baseado na técnica de Multiplicadores de Lagrange. O modelo MVaR corresponde a um problema de programação não linear com risco calculado pela metodologia VaR (Value at Risk), sujeito às mesmas restrições do modelo MV, acrescentada uma restrição para retornos iguais aos obtidos no modelo MV, permitindo a comparação dos dois modelos. A solução do modelo MVaR, para retornos normalmente distribuídos, é equivalente à do modelo de MV, que proporciona portfólios com mínima variância, sobre a qual é realizado o cálculo do risco pela metodologia VaR. Como os modelos utilizados supõem que ao menos os retornos dos portfólios sejam normalmente distribuídos, é verificada a qualidade do ajuste destes retornos à distribuição de Gauss. Os algoritmos são implementados nos programas Maple e Lingo

Abstract: The present work is about the use o f some Operational Research techniques to perform Portfolio Analysis with optimization o f the relationship between risk and retum in wallets of investments. Optimal Portfolios are built according to the approach of Pareto, for a parameter "tradeoff" between risk and return. Making to vary this parameter among the maximum aversion, with portfolios o f minimum risk, to the minimum aversion, with portfolios of maximum return, it is obtained a group of strategic efficient portfolios starting from which the Efficient Frontier o f Portfolios is built. The used models are the Mean-variance (MV) proposed by Harry M. Markowitz (1959) and a model of Mean - Value at Risk (MVaR), for retums of the portfolios modeled by a lognormal distribution and, therefore, not considered derivative and commodities. The used retums correspond to daily closing prices o f 63 assets negotiated in the stock exchange o f the State of São Paulo - Bovespa - in the period from 03/10/1997 to 29/12/2000, obtained through the virtual bank www.lnvestShop.com.br. The model MV is formulated as a parametric problem of quadratic programming, subject to lineal constrains including the budget restriction, with solution through the Criticai Line algorithm, proposed by Markowitz, based on the Lagrange Multipliers technique. The model MVaR corresponds to a problem o f non-lineal programming with risk calculated by the VaR methodology (Value at Risk), subject to the same restrictions o f the model MV, added a restriction for the same retums to the obtained in the model MV, allowing the comparison of the two models. The solution o f the model MVaR, for lognormal retums, it is equivalent to the one o f the MV model, which provides portfolios with minimum variance, on which the calculation o f the risk is accomplished by the VaR methodology. As the used models suppose at least that the retums o f the portfólios are lognormal distributed, the fitting o f a Gauss's distribution is verifíed for these retums. The algorithms are implemented in the programs Maple and Lingo