Clique máxima em grafos lei de potência

Abstract

Resumo: Com o avanco na capacidade de processamento e armazenamento de grandes quantidades de dados, foi-se observado que muitas redes de grande porte advindas de situacoes praticas, desde a World Wide Web ate redes sociais e biologicas, apresentam uma distribuicao lei de potencia nos graus dos vertices. Segundo essa distribuicao, o numero de vertices com um certo grau ?? e proporcional a ?????, onde ?? e o expoente que caracteriza a intensidade da lei de potencia. Tais redes, modeladas matematicamente por grafos de lei de potencia, tiveram um grande aumento no interesse de estudo dentro da area de computacao teorica. Muitos pesquisadores acreditam que pode ser mais facil resolver alguns problemas de otimizacao combinatoria em grafos de lei de potencia do que em outros tipos de grafos em geral. Grande parte dos estudos se utilizam de heuristicas gulosas em grafos de lei de potencia para obter algoritmos eficientes que computem uma solucao proxima da otima para os problemas de otimizacao. Grafos de lei de potencia podem ser gerados e analisados por meio de modelos de grafos aleatorios. Embora o desempenho dos algoritmos para esses problemas esteja sendo bastante explorado experimentalmente na literatura, ha pouco material teorico que analise esse comportamento. A presente dissertacao se insere neste contexto teorico, analisando o problema da clique maxima a fim de evidenciar a eficiencia de algoritmos gulosos em grafos de lei de potencia para tal problema computacional. Fazendo uso de um modelo de grafo aleatorio de ligacao preferencial, provamos que a probabilidade de aparecimento uma clique em um grafo lei de potencia construido pelo modelo decai exponencialmente como uma funcao que depende do tamanho da clique. Esta e a principal ligacao entre o nosso resultado e a eficiencia dos algoritmos gulosos em grafos de lei de potencia, dado que de maneira geral, algoritmos gulosos seguem uma certa ordenacao de vertices em sua solucao, geralmente comecando dos vertices de grau alto. Palavras-chave: Teoria dos grafos. Otimizacao combinatoria. Teoria da probabilidade.

Abstract: With the advance in the capacity to process and store large amounts of data, it was observed that many large networks arising from practical situations, from the World Wide Web to social and biological networks, present a power-law distribution in the degrees of vertices. According to this distribution, the number of vertices with a certain degree ?? is proportional to ?????, wherein ?? is the exponent that characterizes the intensity of the power-law. Such networks, mathematically modeled by power-law graphs, had a great increase in the interest of study within the theoretical computing area. Many researchers believe that it may be easier to solve some combinatorial optimization problems in power-law graphs than in other types of graphs in general. Most studies use greedy heuristics in power-law graphs to obtain efficient algorithms that compute a solution close to the optimum for optimization problems. Power-law graphs can be generated and analyzed using random graph models. Although the performance of the algorithms for these problems is being experimentally explored in the literature, there is little theoretical material to analyze this behavior. The present dissertation is inserted in this theoretical context, analyzing the problem of maximum clique in order to show the efficiency of greedy algorithms in power-law graphs for such computational problem. Using a preferential attachment random graph model, we prove that the probability of a clique in a power-law graph built by the model decays exponentially as a function that depends on the clique size. This is the main link between our result and the efficiency of greedy algorithms in power-law graphs, given that in general, greedy algorithms follow a certain order of vertices in their solution, usually starting from the high degree vertices. Keywords: Graph theory. Combinatorial optimization. Probability theory