Efeitos da anisotropia física sobre o método multigrid aplicado à equação de difusão

Abstract

Resumo: Problemas anisotrópicos podem ser observados em diversos problemas de Engenharia, como por exemplo, no caso de um material com a condutividade térmica diferente de acordo com a direção. Nestes casos, os métodos disponíveis na literatura, não são totalemente eficientes. Neste contexto, este trabalho analisa diferentes algoritmos a partir do métodoo multigride propõe métodos robustos e eficientes para a solução de problemas de anisotropia física. O modelo considerado é de difusão pura com anisotropia alinhada ao eixo de coordenada x. Para a discretização da equação é utilizado o Método dasDiferenças Finitas com malhas uniformes e esquema numérico de segunda ordem.Os problemas são resolvidos com o método multigrid geométrico, esquema de correção e ciclo V com razão de engrossamento padrão.Realizou-seanálise de Fourier local para auxiliar no projeto de um método multigrid eficiente.Calculou-se o fator de suavização e o fator de convergência assintótica variando-sediferentes componentesmultigrid. Os operadores de restrição empregados foram: injeção, meiaponderação, ponderação completa, ponderação parcial em x, ponderação parcial em y; os operadores de prolongação estudados foram: bilinear e 7pontos. Utilizaram-se os seguintes solvers: Gauss-Seidel lexicográgico, Gauss-Seidelred-black, Gauss-Seidel por linhas lexicográfico em x e y, Gauss-Seidel por linhas com ordenação zebra em x e y, decomposição LU incompleta de 5 e 7 pontos. Este estudo baseia-se na escolha de um operador de restrição mais eficiente e de um solver adequado à cada direção da anisotropia. A partir doscomponentes ótimos obtidos via análise de Fourier, foram realizados experimentos para análise de complexidade e custo computacional do algoritmo proposto. A principal conclusão é de que a combinação de restrição por ponderação parcial com a decomposição ILU produzem algoritmo robustos e eficientes para resolução de problemas que apresentam fortes anisotropias. Palavras-Chave:Anisotropia física.Equação de difusão.Análise de Fourier local.Solver ILU.

Abstract: In this work, we propose a robust and efficient multigrid method for the solution of a physical anisotropy problem. The model considered is the diffusion problem with anisotropy aligned to the axis of coordinate x. The Finite Difference Method for the discretization of the equation with uniform grids and second order numerical scheme is used. The problems are solved with the geometric multigrid method, correction scheme and V-cycle with standard coarsening. Local Fourier analysis was performed to help the design of an efficient multigrid method. The smoothing factor and asymptotic convergence factor were calculated by varying different multigrid components. The restriction operators employed were: injection, half-weighting, full weighting, partial weighting in x, partial weighting in y; the prolongation studied were bilinear and 7points operators. The following solvers were used: lexicographic and red-black Gauss-Seidel, lexicographic lines Gauss-Seidel in x and y, zebra Gauss-Seidel in x and y, incomplete LU decomposition of 5 and 7 points. This study is based on the choice of a more efficient restriction operator and an incomplete LU decomposition suitable for each direction of the anisotropy. From the optimal components obtained through Fourier analysis, experiments were performed to analyze the complexity and computational cost of the proposed algorithm. The main conclusion is that the proposed methodology is robust and efficient for solving problems that present strong anisotropies. Keywords:Physical anisotropy. Diffusion equation. Local Fourier Analysis. Solver ILU.