Análise isogeométrica aplicada aos problemas de vibração livre na mecânica das estruturas

Abstract

Resumo: O Método dos Elementos Finitos (MEF) é uma das ferramentas mais utilizadas na determinação dos modos e frequências naturais de vibração de uma estrutura, porém apresenta um problema de precisão com relação às frequências naturais de vibração mais altas de uma amostragem. Os Métodos de Enriquecimento do campo de funções do MEF surgiram com o intuito de melhorar os resultados originais. Se destacam o Método dos Modos Admissíveis (MMA), o Método Composto (MC), o Método dos Elementos Finitos p-Fourier (MEFF) e o Método dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG). Recentemente surgiu um novo método numérico para resolução de equações diferenciais parciais denominado Análise Isogeométrica, a qual utiliza funções base do tipo NURBS (Non Uniform Rational B-Splines) como aproximadoras para a geometria do objeto em estudo e também como ponderação do problema analisado. Desde sua concepção algumas aplicações foram desenvolvidas para a análise dinâmica de estruturas e apresentaram resultados satisfatórios. O fenômeno de vibração livre de estruturas é definido e desenvolvido como um problema para múltiplos graus de liberdade. O MEF e os Métodos Enriquecidos são definidos e a Análise Isogeométrica (AIG) é apresentada em detalhes, com enfoque às funções do tipo NURBS. A formulação variacional dos problemas de vibração livre para elementos de barra, viga de Euler-Bernoulli, treliças e estado plano de tensões é desenvolvida e a AIG é aplicada a exemplos práticos com solução analítica conhecida, ou com resultados numéricos com baixo erro estimado. A precisão da AIG é comparada com o MEF, os Métodos Enriquecidos e o MEFG em termos de desvios percentuais, espectro de frequências e taxas de convergência. Com base nos experimentos comparativos, a AIG se mostra uma promissora ferramenta, gerando resultados precisos e altas taxas de convegência quando comparada com os métodos enriquecidos, sobretudo com o MEFG. Palavras-chave: Vibração Livre. Análise Isogeométrica. Método dos Elementos Finitos. Métodos Enriquecidos. Método dos Elementos Finitos Generalizados.

Abstract: The Finite Element Method (FEM) is a standart tool to find natural vibration modes and frequencies of a structure, but the main problem is related with the inaccurate higher frequencies of a sample. The Enriched Methods appeared with the goal of improving the original results. The most common methods are: the Assumed Mode Method, the Composite Element Method, the Finite Elements p-Fourier and the Generalized Finite Element Method (GFEM). Recently appared a new numerical method to solve partial differencial equations, called Isogeometric Analysis (IGA), which uses NURBS (Non Uniform Rational B-Splines) as weighting functions to the solution of the problem and also as approach to the object geometry. Since its conception, some applications have been developed to dynamical analysis of structures and presented good results. The free vibration problem of structures is defined and developed as a multi-degree of freedom system. The FEM and the Enriched Methods are defined and the Isogeometric Analysis is minutely presented, focusing the NURBS basis functions. The variational formulation of the free vibration problem to bar and Euler-Bernoulli beam elements, trusses and plane stress are developed. Practical examples are developed for IGA and compared with analytical solutions or numerical results with low estimated errors. The accuracy of the IGA is compared with the FEM, the Enriched Methods and GFEM considering percentual errors, frequency spectra and convergence rates. Based on the results, IGA is a promising tool, giving accurate results and high convergence rates when compared with the Enriched Methods, mostly GFEM. Keywords: Free Vibration. Isogeometric Analysis. Finite Element Method. Enriched Methods. Generalized Finite Elements Method.