Efeito de bordas em bilhares abertos

Abstract

Resumo: O estudo da dinâmica de partícula em bilhares com diferentes geometrias é de extrema importância, pois a partir de uma simples modelagem é possível fazer uma boa aproximação para problemas reais bem mais complexos. Neste trabalho estudaremos como o efeito de borda em bilhares abertos, do ponto de vista clássico, pode causar um aumento significativo no tempo de escape de uma partícula que se move em seu interior com energia constante, e também uma grande mudança no comportamento do ângulo de emissão. Para isso usamos dois modelos: o bilhar retangular aberto com cantos arredondados e o bilhar retangular com arredondamentos na borda da abertura. Esses casos são interessantes pois variando o raio de arredondamento encontramos como limites o caso com dinâmica regular (quando o arredondamento é nulo) e comportamento caótico (quando o raio de arredondamento é grande). Utilizamos a distribuição da estatística do tempo de retorno, que relaciona a forma da curva de decaimento com cada tipo de dinâmica, para caracterizar nossos modelos a medida que o raio de arredondamento varia. Curvas com decaimento do tipo lei de potência indicam um dinâmica dividida e com regiões de aprisionamento de órbitas. O decaimento exponencial significa que a dinâmica é caótica. Como principal resultado mostramos de forma numérica que cantos com arredondamento entre 0.01% e 1% da altura do bilhar (primeiro caso) é suficiente para provocar um aumento significativo nos tempos de retorno e induzir um decaimento do tipo lei de potência para a distribuição estatística do tempo de retorno. Para o segundo caso, bordas com rredondamento entre 0.1% e 10% possuem o mesmo efeito mencionado anteriormente. Para valores maiores que os mencionados o decaimento encontrado é exponencial indicando que os sistemas tornam-se otalmente caóticos. Também verificamos que os pequenos arredondamentos dão origem a estruturas auto-similares, e a uma rica dinâmica tanto no tempo de escape quanto no ângulo de emissão.