Efeito de bordas em bilhares abertos

Abstract

Resumo: O estudo da dinâmica de partícula em bilhares com diferentes geometrias é de extrema importância, pois a partir de uma simples modelagem é possível fazer uma boa aproximação para problemas reais bem mais complexos. Neste trabalho estudaremos como o efeito de borda em bilhares abertos, do ponto de vista clássico, pode causar um aumento significativo no tempo de escape de uma partícula que se move em seu interior com energia constante, e também uma grande mudança no comportamento do ângulo de emissão. Para isso usamos dois modelos: o bilhar retangular aberto com cantos arredondados e o bilhar retangular com arredondamentos na borda da abertura. Esses casos são interessantes pois variando o raio de arredondamento encontramos como limites o caso com dinâmica regular (quando o arredondamento é nulo) e comportamento caótico (quando o raio de arredondamento é grande). Utilizamos a distribuição da estatística do tempo de retorno, que relaciona a forma da curva de decaimento com cada tipo de dinâmica, para caracterizar nossos modelos a medida que o raio de arredondamento varia. Curvas com decaimento do tipo lei de potência indicam um dinâmica dividida e com regiões de aprisionamento de órbitas. O decaimento exponencial significa que a dinâmica é caótica. Como principal resultado mostramos de forma numérica que cantos com arredondamento entre 0.01% e 1% da altura do bilhar (primeiro caso) é suficiente para provocar um aumento significativo nos tempos de retorno e induzir um decaimento do tipo lei de potência para a distribuição estatística do tempo de retorno. Para o segundo caso, bordas com rredondamento entre 0.1% e 10% possuem o mesmo efeito mencionado anteriormente. Para valores maiores que os mencionados o decaimento encontrado é exponencial indicando que os sistemas tornam-se otalmente caóticos. Também verificamos que os pequenos arredondamentos dão origem a estruturas auto-similares, e a uma rica dinâmica tanto no tempo de escape quanto no ângulo de emissão.

Abstract: The study of particle dynamics in billiards with different geometries is extremely important because from a simple model one can make a good approximation to real problems far more complex. In this work we studied how the edge effect in open billiards can cause a significant increase in the escape time of a particle moving inside with constant energy, and also a big change in the behavior of the emission angles. e used two models: the open rectangular billiard with rounded corners and rectangular billiards with rounding at the edge of the escape point. These cases are interesting because varying the radius of rounding we found as limits the case with regular dynamics (where rounding is zero) and chaotic behavior (when the radius of rounding is the greatest). We used the escape time statistics, which relates the shape of the decay curve with each type of dynamics, to characterize our models by the variation of the roundi g radius. Decay curves with power law indicate a dynamic and divided regions and sticky motion. The exponential decay means that the dynamics is chaotic. We have shown numerically that the corners rounded off between 0.01% and 1% of the height ofthe billiard (first case) is sufficient to cause a significant increase in turnaround times and induce a power law decay for the escape times statistics. For the second case, the edges rounded off between 0.1% and 10% have the same effect mentioned earlier. For larger values than those found earlier, an exponential decay is found which indicatesthat the systems become totally chaotic. We also found that small rounding give rise to self-similar structures, and a rich dynamic in escape times and in emission angle.