Bifurcaçao, multiestabilidade e sincronizaçao em sistemas dinâmicos discretos

Abstract

Resumo: Neste trabalho fazemos o estudo de tr^es problemas atuais de grande impacto em din^amica n~ao linear envolvendo sistemas multimensionais, conforme discutido no cap³tulo 1 a t³tulo de introdu"c~ao. No cap³tulo 2 apresentamos resultados da investiga "c~ao numerica da evolu"c~ao do tamanho das bacias de atra"c~ao, ao longo de algumas linhas especiais no espa"co de par^ametros, para um modelo paradigmatico de sistema multidimensional com dissipa"c~ao, o mapa de Henon. O principal resultado obtido revela que o tamanho de uma bacia de atra"c~ao diminui rapidamente quando passamos do limite dissipativo para o conservativo, sendo este comportamento bastante bem representado por curvas gaussianas, independentemente do per³odo. No cap³tulo 3 estudamos um sistema composto por dois mapas quadraticos id^enticos acoplados linearmente. O objetivo e mostrar que tal sistema generico exibe movimento quaseperi odico, a partir de uma bifurca"c~ao de Naimark-Sacker de orbitas periodicas que acontecem fora da linha diagonal. Mostramos isto analiticamente para uma orbita de per³odo 2, usando analise de estabilidade linear e metodo de formas normais. Estes resultados foram tambem corroborados numericamente, utilizando gra¯cos no espa"co de fase, expoentes de Lyapunov e diagramas de bifurca"c~ao. No cap³tulo 4 utilizamos o mesmo modelo do cap³tulo anterior para mostrar que a perda de estabilidade do atrator caotico sincronizado, cujo subespa"co invariante do espa"co de fase xy e a diagonal y = x, tem in³cio com a bifurca"c~ao de orbitas periodicas tipo sela imersas no proprio atrator. Curvas de desestabiliza"c~ao transversal no espa"co de par^ametros foram obtidas para orbitas de per³odos mais baixos, algumas analiticamente. Finalmente, no cap³tulo 5 apresentamos nossas conclus~oes.

Abstract: In this work we study three actual problems of great impact in nonlinear dynamics involving multidimensional systems, as discussed in the introduction presented in chapter 1. In chapter 2 we present results for the numerical investigation of the basins of attraction size evolution, along some special lines in the parameter space, for a paradigmatic model of multidimensional system with dissipation, namely, the Henon map. The main result obtained shows that basin sizes shrink faster as the conservative limit is approached, being well approximated by Gaussian pro¯les, independently of the period. In chapter 3, we study a system composed by two linearly coupled identical quadratic maps. The goal is to show that this generic system displays quasiperiodic motion which is born from a Naimark-Sacker bifurcation of a non-diagonal periodic orbit. This is shown analytically for a period 2 orbit, using linear stability analysis and normal forms approach. These results were also numerically corroborated, using phase space portraits, Lyapunov exponents, and bifurcation diagrams. In chapter 4 we utilize the same model of chapter 3 to show that the loss of stability of the synchronized chaotic attractor, whose invariant subspace of the phase space xy is the y = x diagonal, begins with the bifurcation of saddle periodic orbits embedded in the attractor itself. Transverse desestabilization curves in parameter space are derived for low periodic orbits, some of them analytically. Finally, in chapter 5, conclusions are presented.