Bifurcação, multiestabilidade e sincronização em sistemas dinâmicos discretos

Abstract

Resumo: Neste trabalho fazemos o estudo de três problemas atuais de grande impactoem dinâmica não linear envolvendo sistemas multimensionais, conforme discutido no capítulo 1 a título de introdução. No capítulo 2 apresentamos resultados da investigação numérica da evolução do tamanho das bacias de atração, ao longo de algumas linhas especiais no espaço de parâmetros, para um modelo paradigmático de sistema multidimensional com dissipação, o mapa de Hénon. O principal resultado obtido revela que o tamanho de uma bacia de atração diminui rapidamente quando passamos do limite dissipativo para o conservativo, sendo este comportamento bastante bem representado por curvas gaussianas, independentemente do período. No capítulo 3 estudamos um sistema composto por dois mapas quadráticos idênticos acoplados linearmente. O objetivo é mostrar que tal sistema genérico exibe movimento quase-periódico, a partir de uma bifurcação de Naimark-Sacker de órbitas periódicas que acontecem fora da linha diagonal. Mostramos isto analiticamente para uma órbita de período 2, usando análise de estabilidade linear e método de formas normais. Estes resultados foram também corroborados numericamente, utilizando gráficos no espaço de fase, expoentes de Lyapunov e diagramas de bifurcação. No capítulo 4 utilizamos o mesmo modelo do capítulo anterior para mostrar que a perda de estabilidade do atrator caótico sincronizado, cujo subespaço invariante do espaço de fase xy é a diagonal y = x, tem início com a bifurcação de órbitas periódicas tipo sela imersas no próprio atrator. Curvas de desestabilização transversal no espaço de parâmetros foram obtidas para órbitas de períodos mais baixos, algumas analiticamente. Finalmente, no capítulo 5 apresentamos nossas conclusões.

Abstract: In this work we study three actual problems of great impact in nonlinear dynamics involving multidimensional systems, as discussed in the introduction presented in chapter 1. In chapter 2 we present results for the numerical investigation of the basins of attraction size evolution, along some special lines in the parameter space, for a paradigmatic model of multidimensional system with dissipation, namely, the Henon map. The main result obtained shows that basin sizes shrink faster as the conservative limit is approached, being well approximated by Gaussian pro¯les, independently of the period. In chapter 3, we study a system composed by two linearly coupled identical quadratic maps. The goal is to show that this generic system displays quasiperiodic motion which is born from a Naimark-Sacker bifurcation of a non-diagonal periodic orbit. This is shown analytically for a period 2 orbit, using linear stability analysis and normal forms approach. These results were also numerically corroborated, using phase space portraits, Lyapunov exponents, and bifurcation diagrams. In chapter 4 we utilize the same model of chapter 3 to show that the loss of stability of the synchronized chaotic attractor, whose invariant subspace of the phase space xy is the y = x diagonal, begins with the bifurcation of saddle periodic orbits embedded in the attractor itself. Transverse desestabilization curves in parameter space are derived for low periodic orbits, some of them analytically. Finally, in chapter 5, conclusions are presented.