Estudo sobre entropias e flutuações no contexto de banhos térmicos

Abstract

Resumo: Neste trabalho buscamos estudar vários tipos de banhos térmicos empregando con ceitos variados de Termodinâmica e Mecânica Estatística. No contexto da existência de resultados conhecidos a respeito dos formalismos usuais dessas áreas, buscamos efetuar uma aplicação da Termoestatística generalizada no estudo de desigualdades de relevância na Física. O objetivo foi não apenas conseguir resultados inéditos a respeito dos banhos térmicos, mas também um melhor entendimento a respeito das diferenças desses modelos no que diz respeito principalmente às propriedades referentes ao conceito de entropia. Desse modo, a presente dissertação discute primeiramente o sur gimento de algumas das principais ideias da Termodinâmica e também, da formulação matemática da segunda lei da Termodinâmica dentro desse contexto. Posteriormente, partimos de um resultado já conhecido na literatura a respeito de uma capacidade térmica não dependente da temperatura, e realizamos algumas simulações numéricas a f im deressaltar um resultado referente à desigualdade de Jensen. Como consequência disso, também como motivação de propor a ideia da possibilidade de extrair resultados matemáticos estabelecendo uma conexão com princípios e leis da Física. Foi tam bém abordada uma revisão a respeito da Mecânica Estatística de Boltzmann-Gibbs, destacando as principais diferenças entre os formalismos microcanônico e canônico bem como introduzindo as principais ideias associadas às flutuações de energia que os sistemas podem apresentar. A partir disso, foi apresentada uma generalização da teoria mencionada previamente, estabelecendo as principais diferenças em relação aos aspectos formais apresentados anteriormente. A generalização se trata da Mecânica Estatística não extensiva, que generaliza a Mecânica Estatística de Boltzmann-Gibbs e possui várias aplicações como no caso de interações de longo alcance, sistemas conservativos e dissipativos e aplicações na Termodinâmica de osciladores harmônicos. [1]. A q-Termoestatística foi considerada, isto é, uma das ramificações da Mecânica Estatística não extensiva. Tal modelo considera uma generalização das funções loga rítmicas e exponenciais, de modo que o parâmetro q diz respeito a uma deformação de tais funções, o que resulta na não aditividade da entropia e outros resultados. Apli camos o formalismo generalizado com resultados analíticos derivados a respeito de uma expressão para capacidade térmica generalizada dependente da temperatura. Tal formulação está diretamente associada aos estudos das flutuações devido a presença do desvio quadrático médio das energias do sistema interagindo com um certo reser vatório, com ambos em equilíbrio térmico. Foi considerado também o limite de q - 1 para recuperarmos as expressões já conhecidas a respeito e que são referentes às f lutuações e desigualdades

Abstract: In this work we aim to study several types of thermal baths using various concepts of Thermodynamics and Statistical Mechanics. In the context of the existence of known results regarding the usual formalisms of these areas, we seek to apply generalized Thermostatistics to the study of inequalities of relevance in Physics. The objective was not only to obtain new results regarding thermal baths, but also to better understand the differences between these models, mainly with regard to the properties related to the concept of entropy. Thus, this dissertation first discusses the emergence of some of the main ideas of Thermodynamics and also the mathematical formulation of the second law of Thermodynamics within this context. Subsequently, we start from a result already known in the literature regarding a heat capacity that is not dependent on temperature, and we perform some numerical simulations in order to highlight a result regarding Jensen’s inequality. As a consequence of this, we also propose the idea of the possibility of extracting mathematical results by establishing a connection with principles and laws of Physics. A review of Boltzmann-Gibbs Statistical Mechanics was also presented, highlighting the main differences between the microcanonical and canonical formalisms, as well as introducing the main ideas associated with the energy fluctuations that systems can present. From this, a generalization of the previously mentioned theory was presented, establishing the main differences in relation to the formal aspects presented previously. The generalization is non-extensive Statistical Mechanics, which generalizes Boltzmann-Gibbs Statistical Mechanics and has several applications such as in the case of long-range interactions, conservative and dissipative systems and applications in the Thermodynamics of harmonic oscillators. [1]. The q-Thermostatistics was considered, that is, one of the branches of non-extensive Statistical Mechanics. This model considers a generalization of logarithmic and exponential functions, so that the parameter q concerns a deformation of such functions, which results in the non-additivity of entropy and other results. We apply the generalized formalism with analytical results derived regarding an expression for generalized heat capacity which has dependence on temperature. This formulation is directly associated with the studies of fluctuations due to the presence of the root-mean square deviation of the energies of the system interacting with a certain reservoir, with both in thermal equilibrium. We also considered the limit of q ? 1 to recover the expressions already known in this regard and that refer to fluctuations and inequalities.