Método multigrid espaço-tempo e múltipla extrapolação de Richardson na solução e acurácia da transferência de calor não linear em silício com condição de contorno relaxante

Abstract

Resumo: Este trabalho apresenta uma investigação detalhada sobre a aplicação de técnicas avançadas de análise numérica na solução de problemas não lineares de transferência de calor unidimensional. O modelo matemático estudado descreve a difusão de calor em uma barra fina e homogênea de silício, cuja condutividade térmica varia com a temperatura, sem solução analítica conhecida. Problemas desse tipo são comuns na modelagem de processos térmicos em materiais semicondutores e dispositivos eletrônicos, sendo fundamentais para o entendimento e a previsão do comportamento térmico em aplicações tecnológicas. A ausência de soluções analíticas para esse modelo não linear impõe a necessidade de desenvolver métodos numéricos eficientes que garantam alta precisão e baixo custo computacional. Apesar do sucesso de métodos clássicos, como o Crank Nicolson e técnicas de linearização, esses métodos podem apresentar limitações na precisão ou na eficiência computacional, especialmente para sistemas altamente não lineares e malhas refinadas. Além disso, ainda há pouca exploração do uso combinado de técnicas multigrid e extrapolação para melhorar a precisão e acelerar a convergência em problemas térmicos não lineares. O objetivo deste trabalho é propor e avaliar duas abordagens para a solução numérica eficiente do problema, combinando métodos multigrid não lineares com técnicas de extrapolação para aumentar a precisão e a eficiência na solução de sistemas não lineares. A solução numérica foi estruturada utilizando o método das diferenças finitas centradas (CDS) para a discretização espacial e o método de Crank-Nicolson para a aproximação temporal. Duas abordagens foram consideradas no processo de solução: (i) a abordagem baseada no esquema de correção (Correction Scheme, CS) do multigrid, que lineariza o sistema pelo método de Newton associado à varredura Time-Stepping (TS); (ii) a abordagem baseada no esquema de aproximação completa (Full Approximation Scheme, FAS), que resolve diretamente o sistema não linear em conjunto com a varredura Waveform Relaxation (WR), formando o método FAS-MGWR. Para melhorar a precisão das soluções, foi aplicada a técnica de Múltipla Extrapolação de Richardson (MER). A verificação do código implementado foi realizada comparando os resultados numéricos com dados da literatura e com a ordem assintótica teórica esperada. Os resultados indicaram que ambas as abordagens, CS com TS e FAS-MGWR, associadas à MER, proporcionaram ganhos expressivos na precisão das soluções. A abordagem FAS-MGWR apresentou ainda uma redução significativa no tempo computacional em relação aos métodos convencionais, mantendo um excelente fator de convergência e speed-up com a versão singlegrid. Os resultados obtidos destacam a eficiência e a robustez do método FAS-MGWR associado à MER na solução de problemas não lineares de transferência de calor, oferecendo uma abordagem promissora para aplicações em sistemas térmicos complexos. A flexibilidade da abordagem proposta permite sua adaptação para outros modelos não lineares encontrados em modelagem computacional e sistemas termodinâmicos, com potencial para aplicações na Engenharia Térmica e dispositivos eletrônicos modernos

Abstract: This work presents a detailed investigation into the application of advanced numerical analysis techniques for solving nonlinear one-dimensional heat transfer problems. The studied mathematical model describes heat diffusion in a thin, homogeneous silicon bar, where thermal conductivity varies with temperature and unknown analytical solution exists. Problems of this kind are common in modeling thermal processes in semiconductor materials and electronic devices, playing a fundamental role in understanding and predicting thermal behavior in technological applications.The absence of analytical solutions for this nonlinear model necessitates the development of efficient numerical methods that ensure high accuracy with low computational cost. Despite the success of classical methods such as Crank-Nicolson and linearization techniques, these approaches may present limitations in accuracy or computational efficiency, especially for highly nonlinear systems and refined meshes. Furthermore, there has been little exploration of the combined use of multigrid techniques and extrapolation to enhance accuracy and accelerate convergence in nonlinear thermal problems. The objective of this work is to propose and evaluate two approaches for the efficient numerical solution of this problem, combining nonlinear multigrid methods with extrapolation techniques to improve both accuracy and efficiency in solving nonlinear systems. The numerical solution was structured using the centered f inite difference scheme (CDS) for spacial discretization and the Crank-Nicolson method for temporal approximation. Two approaches were considered in the solution process: (i) the approach based on the multigrid Correction Scheme (CS), which linearizes the system using Newton’s method combined with Time-Stepping (TS) sweeping; (ii) the approach based on the Full Approximation Scheme (FAS), which directly solves the nonlinear system in conjunction with Waveform Relaxation (WR) sweeping, forming the FAS-MGWR method. To improve solution accuracy, the Repeated Richardson Extrapolation (RRE) technique was applied. The implemented code was verificated by comparing the numerical results with literature data and the expected theoretical asymptotic order. The results indicated that both approaches, CS with TS and FAS-MGWR, combined with RRE provided significant improvements in solution accuracy. Additionally, the FAS-MGWR approach achieved a substantial reduction in computational time compared to conventional methods while maintaining an excellent convergence factor and speed-up relative to its singlegrid version. The obtained results highlight the efficiency and robustness of the FAS-MGWR method combined with RRE in solving nonlinear heat transfer problems, offering a promising approach for applications in complex thermal systems. The flexibility of the proposed approach allows its adaptation to other nonlinear models encountered in computational modeling and thermodynamic systems, with potential applications in Thermal Engineering and modern electronic devices