An approach to the Wheeler-DeWitt equation with a complex cosmological constant

Abstract

Resumo: Esta dissertação investiga a solução da equação de Wheeler-DeWitt no contexto da gravidade quântica, com ênfase em uma correção quântica derivada da integral de caminhos. A pesquisa começa abordando a evolução histórica, desde Planck até Wheeler e DeWitt, cujas contribuições culminaram na formulação da equação que descreve a gravidade quântica. O primeiro passo no desenvolvimento da dissertação é a dedução da equação de Wheeler-DeWitt a partir da ação de Einstein-Hilbert, utilizando o formalismo de Arnowitt-Deser-Misner. Essa abordagem canônica permiteumadescriçãodetalhadadadinâmicadagravitação,essencialparaaquantizaçãodocampo gravitacional. No segundo estágio, a dissertação transita para o formalismo de Ashtekar, que reformula a teoria gravitacional através de variáveis auto-duais. Essa reformulação é fundamental para a quantização da gravidade, uma vez que as variáveis de Ashtekar facilitam a integração das teorias clássicas com as abordagens quânticas, permitindo uma melhor compreensão da estrutura matemática que rege a gravitação. A seguir, a dissertação apresenta uma modificação quântica à ação de Einstein-Hilbert, com base na medida funcional proveniente da integral de caminhos. Esta modificação é caracterizada pela introdução de uma constante cosmológica complexa, que emerge como resultado da quantização da gravidade. A constante cosmológica complexa é incorporada na ação modificada, e a equação de Wheeler-DeWitt é resolvida dentro desse novo quadro teórico. Ao considerar os efeitos quânticos da gravitação, a solução obtida oferece uma nova perspectiva sobre a natureza do espaço-tempo e seus componentes fundamentais em escalas quânticas. A pesquisa propõe que a constante cosmológica, derivada dessa medida funcional, desempenha um papel importante na dinâmica quântica do universo, esclarecendo o comportamento das flutuações quânticas do espaço-tempo, através dos efeitos topológicos e quânticos que nossa solução fornece, além de possibilitar novas linhas de pesquisa para a origem da constante cosmológica. Este trabalho contribui para a resolução da equação de Wheeler-DeWitt, ao integrar os formalismos canônicos e da integral de caminhos, propondo uma nova maneira de interpretar a gravidade quântica.

Abstract: This dissertation investigates the solution of the Wheeler-DeWitt equation in the context of quantum gravity, with emphasis on a quantum correction derived from the path integral. The research begins by addressing the historical evolution, from Planck to Wheeler and DeWitt, whose contributions culminated in the formulation of the equation that describes quantum gravity. The first step in the development of the dissertation is the derivation of the Wheeler-DeWitt equation from the Einstein-Hilbert action, using the Arnowitt-Deser-Misner formalism. This canonical approach allows a detailed description of the dynamics of gravitation, essential for the quantization of the gravitational field. In the second stage, the dissertation moves to the Ashtekar formalism, which reformulates gravitational theory through self-dual variables. This reformulation is fundamental for the quantization of gravity, since Ashtekar variables facilitate the integration of classical theories with quantum approaches, allowing a better understanding of the mathematical structure that governs gravitation. Next, the dissertation presents a quantum modification to the Einstein-Hilbert action, based on the functional measure derived from the path integral. This modification is characterized by the introduction of a complex cosmological constant, which emerges as a result of the quantization of gravity. The complex cosmological constant is incorporated into the modified action, and the Wheeler-DeWitt equation is solved within this new theoretical framework. The solution obtained, by considering the quantum effects of gravity, the obtained solution offers a new perspective on the nature of spacetime and its fundamental components at quantum scales. The research proposes that the cosmological constant, derived from this functional measure, plays an important role in the quantum dynamics of the universe, shedding light on the behavior of quantum fluctuations of spacetime, through the topological and quantum effects that our solution provides, in addition to enabling new lines of research into the origin of the cosmological constant. This work contributes to the resolution of the Wheeler-DeWitt equation, by integrating the canonical and path integral formalisms, proposing a new way of interpreting quantum gravity