Uma nova abordagem espaço-tempo usando o suavizador Uzawa com o método Multigrid para o problema da poroelasticidade

Abstract

Resumo: A pesquisa aborda a interação entre a deformação de materiais porosos elásticos e o escoamento de fluidos em seu interior, fundamentada nas equações de poroelasticidade, que possuem ampla aplicação em áreas como engenharia, medicina e geologia. Essas equações, que modelam deslocamento, pressão e tempo, apresentam desafios significativos devido às instabilidades numéricas associadas ao problema de ponto de sela, dificultando a obtenção de soluções precisas e eficientes. O estudo propõe uma abordagem inovadora para resolver problemas de poroelasticidade em uma e duas dimensões, introduzindo uma nova varredura espaço-temporal. A metodologia combina o Método de Volumes Finitos para discretização espacial e o método de Euler implícito para discretização temporal. O método Multigrid com ciclo W é integrado com suavizadores, como Vanka, Fixed-Stress e Uzawa, para acelerar a convergência e otimizar o desempenho computacional. Para o caso unidimensional, foram comparados os métodos Vanka, Fixed-Stress e Uzawa em termos de fator de convergência e tempo computacional, avaliando tanto a abordagem tradicional Time-Stepping quanto a nova varredura espaço-temporal, esta última aplicada especificamente ao método Uzawa, pois possui características que permitem a aplicação dessa nova varredura. Em duas dimensões, a técnica proposta alcançou um fator de convergência médio inferior a 0, 31 e reduziu significativamente o tempo computacional, atingindo uma aceleração de até 4800 vezes melhor em malhas de alta resolução (1024 × 1024) em comparação ao método Singlegrid. Conclui-se que a varredura espaço-temporal proposta é altamente paralelizável, proporcionando ganhos substanciais em tempo de processamento e taxas de convergência. Esses resultados destacam seu potencial como uma solução eficiente e robusta para problemas de poroelasticidade uni e bidimensionais

Abstract: This research investigates the interaction between the deformation of elastic porous materials and fluid flow within them, grounded in the equations of poroelasticity, which have broad applications in fields such as engineering, medicine, and geology. These equations, which model displacement, pressure, and time, pose significant challenges due to numerical instabilities associated with the saddle-point problem, complicating the attainment of precise and efficient solutions. The study introduces an innovative approach to solving poroelasticity problems in one and two dimensions by developing a novel space-time sweeping technique. The methodology combines the Finite Volume Method for spatial discretization with the implicit Euler method for temporal discretization. The Multigrid method with W-cycle is integrated with smoothers such as Vanka, Fixed- Stress, and Uzawa to accelerate convergence and optimize computational performance. For the one-dimensional case, the Vanka, Fixed-Stress, and Uzawa methods were compared in terms of convergence factor and computational time, evaluating both the traditional Time-Stepping approach and the new space-time sweeping technique, the latter applied specifically to the Uzawa method. In two dimensions, the proposed technique achieved an average convergence factor below 0.31 and significantly reduced computational time, achieving up to 4800 times acceleration on high-resolution grids (1024×1024) compared to the Singlegrid method. The study concludes that the proposed space-time sweeping technique is highly parallelizable, offering substantial gains in processing time and convergence rates. These results underscore its potential as an efficient and robust solution for one- and two-dimensional poroelasticity problems