Bacias crivadas e variabilidade de dimensão instável em sistemas caóticos acoplados

Abstract

Resumo: Bacias de atração crivadas são caracterizadas por não possuírem subconjuntos abertos em seu interior. Essas bacias surgem em sistemas caóticos multiestáveis a partir de bifurcações blowout e apresentam leis de escala características. Além disso, o atrator associado possui a propriedade de variabilidade de dimensão instável (VDI), o que indica que trajetórias numéricas podem não representar o comportamento real das órbitas do modelo por longos períodos de tempo. Neste trabalho, estudam-se dois sistemas — um discreto e um contínuo —que exibem bacias crivadas devido à presença de uma variedade de sincronização. As leis de escala esperadas são verificadas e mostra-se que elas podem ser corretamente estimadas por um modelo estocástico proposto por Ott e colaboradores, inclusive quando o sistema apresenta dimensões relativamente altas e está sujeito a perturbações. Utilizando o conjunto de órbitas periódicas imersas nos atratores crivados, evidencia-se a existência de VDI em ambos os sistemas e, para o caso discreto, sua intensidade é quantificada através da medida de contraste. Isso permitiu constatar que a intensidade de VDI é máxima próximo a pontos críticos. O estudo de VDI por meio das órbitas periódicas é complementado pela análise das distribuições de expoentes de Lyapunov em tempo finito, o que corrobora tanto a validade do modelo estocástico como a maximização da variabilidade da dimensão próximo a bifurcações blowout

Abstract: Riddled basins of attraction are characterized by the lack of open subsets in their interior. These basins emerge in multistable systems through blowout bifurcations and exhibit characteristic scaling laws. Moreover, the riddled attractor possesses the property of unstable dimension variability (UDV), which indicates that numerical orbits may not accurately represent the behavior of real orbits of the system over long periods of time. In this work, two systems — one discrete and one continuous — are studied, both of which exhibit riddled basins due to the presence of a synchronization manifold. The expected scaling laws are verified, and it is demonstrated that they can be accurately estimated by a stochastic model proposed by Ott and collaborators, even when the system is relatively high-dimensional and subject to perturbations. Using the set of periodic orbits embedded in the riddled attractors, the existence of UDV is shown in both systems, and for the discrete one, its intensity is quantified using the contrast measure. This allowed us to verify that near critical points the UDV intensity is maximized. The study of UDV through periodic orbits is complemented by an analysis of the distribution of finite-time Lyapunov exponents, which corroborates the validity of the stochastic model and the maximization of UDV near blowout bifurcations