Estruturas fractais em sistemas hamiltonianos abertos

Abstract

Resumo: Neste trabalho, estudamos a influência das estruturas fractais no escape de sistemas Hamiltonianos abertos, de interesse para a física de plasma. Utilizamos uma descrição Hamiltoniana que permite descrever o movimento das linhas de campo magnético via um mapa bidimensional chamado Tokamap. Se existem saídas posicionadas na região de linhas de campo caóticas, o sistema Hamiltoniano se torna aberto e podemos estudar as bacias de escape, ou seja, o conjunto de condições iniciais para as quais as linhas de campo escapam para uma dada saída. Investigamos quantitativamente as estruturas das bacias caracterizando sua fractalidade. Para isso calculamos a dimensão de incerteza, assim como investigamos a estrutura subjacente à dinâmica formada pelo emaranhamento homoclínico das variedades invariantes. Utilizamos o conceito de entropia de bacia e de fronteira para investigar a incerteza do estado final do sistema. Também mostramos como obter o expoente de incerteza a partir dessa entropia utilizando um mapa não-twist que descreve o movimento de partículas em fluxos incompressíveis no referencial de uma onda viajante (mapa de Weiss). Investigamos a dinâmica de partículas na borda de um tokamak causada por perturbações eletrostáticas. Para descrever essas perturbações, utilizamos um modelo de ondas de deriva proposto por Horton. Neste modelo, é necessário estabelecer alguns perfis de quantidades físicas, como campo elétrico, velocidade do plasma e perfil de segurança. Escolhemos valores baseados em experiências do tokamak Chauffage Alfvén Brésilien (TCABr) localizado na USP, em conjunto com parâmetros também do TCABr. Mostramos que o transporte é influenciado por estruturas fractais que exibem a propriedade Wada. Por fim terminamos com a apresentação da existência de uma estrutura hierárquica de ilhas ao redor de ilhas, onde as partículas sofrem o efeito stickiness utilizando um quantificador baseado em recorrência.

Abstract: In this work we study the existence of fractal structures in the escape of open Hamiltonian systems, with interest in plasma physics. We use a Hamiltonian description that allows us to describe the movement of magnetic field lines through a two-dimensional area preserving map called Tokamap. If there are exits positioned in the region of chaotic field lines, the Hamiltonian system becomes open and we can study the escape basins, i.e., the set of initial conditions for which the field lines escape to a given exit. These basins are fractal, we quantitatively investigate the fractal basins using the uncertainty dimension as well as investigating the structure underlying the dynamics formed by the invariant manifolds. We use the concept of basin and boundary entropy to investigate the uncertainty of the final state of the system, we show how to obtain the uncertainty exponent from this entropy using a non-twist map that describes the movement of particles in incompressible flows in the reference frame of a traveling wave, called the Weiss map. We investigated the dynamics of particles at the edge of a tokamak, caused by electrostatic fluctuations. To describe these disturbances we use a drift wave model proposed by Horton. In this model it is necessary to establish some profiles of physical quantities such as electric field, plasma velocity and safety profile. We chose values based on experiences from the Tokamak Chauffage Alfvén Brésilien TCABr located at USP, together with parameters also from TCABr. We show that transport is influenced by fractal structures that exhibit the Wada property. Moreover, we show the existence of a hierarchical structure of islands-around-islands where particles experience stickiness effect, using a recurrence-based quantifier.