Modelo epidemiológico baseado em redes com acoplamento não local

Abstract

Resumo: Neste trabalho, consideramos uma rede complexa discreta de sítios acoplados para simular a propagação de uma doença em função dos parâmetros do modelo. Na rede, cada unidade representativa do espaço é chamada de sítio, o qual pode ser interpretado como uma região geográfica como, por exemplo, uma cidade. A dinâmica de cada sítio é governada por um sistema de equações diferenciais, conhecido na literatura como modelo SIR (Suscetíveis- Infectados-Removidos), que é acoplado de acordo com uma matriz de adjacência. Para simular as diferentes conexões entre cidades, utilizamos uma rede de pequeno mundo (small-world), do tipo Newman-Watts. Nesse tipo de rede, adicionamos conexões não-locais de forma aleatória, seguindo uma probabilidade p. A partir disso, diferenciamos conexões locais, restritas a vizinhos próximos, das conexões não-locais, que funcionam como atalhos que possibilitam a interação entre sítios distantes. Após estabelecer o modelo de equações para a rede de sítios acoplados, realizamos simulações numéricas por meio de um programa desenvolvido na linguagem de programação Python, utilizando a rotina de integração solve-ivp com o método de Runge-Kutta de quarta ordem. Para analisar a dispersão da doença em função dos parâmetros do modelo, introduzimos dois quantificadores, a taxa de avanço da doença e o tempo de extinção da epidemia. Caracterizamos a taxa de avanço da doença como a razão da distância entre dois sítios da rede e o intervalo de tempo entre dois máximos locais na curva de infectados (Imáx). Além disso, calculamos a média dessas taxas para analisar a taxa de avanço da doença em toda a rede complexa. Definimos o tempo de extinção da epidemia como o momento em que a rede atinge 95% da população na categoria dos recuperados. Os resultados obtidos indicam que as conexões não-locais levam a uma propagação mais rápida da epidemia, enquanto uma interação mais baixa entre os sítios contribui para uma propagação mais lenta. Parâmetros como a taxa de infecção e a quantidade de indivíduos suscetíveis influenciam a dispersão da epidemia, enquanto a taxa de recuperação e a quantidade inicial de indivíduos infectados no sítio de referência não apresentaram grande influência na evolução da doença na rede.

Abstract: In this work, we considered a discrete complex network of coupled sites to simulate the spread of a disease as a function of model parameters. In network, each spatial unit is referred to as a site, which can be interpreted as a geographical region, such as a city, for example. The dynamics of each site are governed by a system of differential equations known in the literature as the SIR model (Susceptible-Infected-Removed), which is coupled according to an adjacency matrix. To simulate the diverse connections between cities, we used a Newman-Watts type of small-world network. In this type of network, we introduce non-local connections randomly with a probability p. Therefore, we distinguish local connections, confined to nearby neighbors, from non-local connections, which act as shortcuts facilitating interaction between distant sites. After establishing the equation model for the interconnected site network, we conducted numerical simulations using a program developed in the Python programming language, using the solve-ivp integration routine with the fourth-order Runge-Kutta method. To analyze the disease’s spread in relation to the model parameters, we introduced two quantifiers, the advancement rate, and the epidemic extinction time. We characterized the advancement rate as the ratio of the distance between two sites in the network to the time interval between two local maxima in the infected curve (Imax). Additionally, we calculated the average of these rates to analyze the disease propagation rate across the entire complex network. We defined the epidemic extinction time as the moment when the network reaches 95% of the population in the recovered category. The results obtained indicate that non-local connections lead to a faster spread of the epidemic, while a lower interaction among sites contributes to a slower spread. Parameters such as the infection rate and the number of susceptible individuals influence the epidemic’s spread, while the recovery rate and the initial number of infected individuals in the reference site did not have a significant influence on the disease’s evolution in the network.