Estimativa e redução do erro de discretização para o problema de poroelasticidade

Abstract

Resumo: Este trabalho tem como objetivo reduzir e estimar o erro de discretização (Eh) através da aplicação de Múltiplas Extrapolações de Richardson (MER) ao problema de escoamento em meio poroso deformável em domínios unidimensionais e bidimensionais. Tal método caracteriza-se como um procedimento de pós-processamento que requer baixo custo computacional fundamentado na série de Richardson. Neste sentido, realiza-se a verificação numérica de soluções obtidas com o emprego do Método das Diferenças Finitas, em que são aplicadas aproximações espaciais de segunda ordem, bem como condições de contorno de Dirichlet e Neumann. As aproximações temporais são executadas através do método de Crank-Nicolson, gerando assim grandes sistemas de equações lineares. Para resolver esses sistemas, é utilizado o método multigrid em conjunto com o suavizador Vanka, otimizando assim a convergência do processo iterativo. As variáveis de interesse são classificadas de acordo com suas localizações, tais como nodais e não nodais, durante o refinamento da malha. Os resultados são agrupados da seguinte forma: para variáveis com localização nodal fixa, a aplicação de MER leva a uma redução substancial no erro Eh. No entanto, para variáveis com coordenadas variáveis durante o refinamento da malha, a aplicação direta de MER não se mostra eficaz. Para lidar com essa situação, uma metodologia é proposta, envolvendo interpolação polinomial prévia e um método de otimização. Os resultados obtidos revelam que essa abordagem é promissora para redução do erro de discretização e aumento da ordem de acurácia das soluções numéricas, quando aplicada a esse tipo de variável. Além disso, busca-se a obtenção de estimativas do erro de discretização após a aplicação de MER. A análise abrange diversos estimadores presentes na literatura, destacando-se o estimador de Richardson Corrigido, recomendado por sua maior acurácia e confiabilidade em comparação com outros estimadores examinados neste trabalho.

Abstract: The current work aims to reduce and estimate discretization error (Eh) through the utilization of Repeated Richardson Extrapolation (RRE) to the problem of flow in a deformable porous medium within one-dimensional and two-dimensional domains. The adopted methodology is characterized as a post-processing procedure, requiring low computational cost and grounded in the Richardson series. In this context, numerical verification is conducted on solutions attained using the Finite Difference Method, where second-order spatial approximations are applied, alongside Dirichlet and Neumann boundary conditions. Temporal approximations are executed through the Crank-Nicolson method, resulting in the formulation of large systems of linear equations. To solve these systems, the multigrid method together with the Vanka smoother is employed, thereby optimizing the convergence of the iterative process. The variables of interest are categorized based on their positions, including nodal and non-nodal, throughout mesh refinement. The results are organized as follows: for variables with fixed nodal locations, the application of RRE leads to a substantial reduction in error Eh. However, for variables with varying coordinates during mesh refinement, the direct application of RRE proves ineffective. To address this situation, a methodology is proposed, involving prior polynomial interpolation and an optimization method. The obtained results reveal that this approach holds promise for reducing discretization error and enhancing the accuracy order of numerical solutions when applied to this type of variable. Furthermore, the work seeks to obtain estimations of discretization error subsequent to the application of RRE. The analysis encompasses various estimators present in the literature, with the Corrected Richardson Estimator standing out as recommended due to its greater accuracy and reliability compared to other estimators examined in this study.