Mecânica fracionária : características e propriedades

Abstract

Resumo: Esse trabalho trata da investigação das propriedades de sistemas clássicos fracionários. Tais sistemas são construídos a partir da introdução e implementação de operadores do cálculo diferencial e integral de ordem não-inteira na descrição de sistemas físicos. Em particular, abordaremos duas distintas formulações propostas, presentes na literatura, para a mecânica clássica fracionaria. A primeira, e construída a partir de uma generalização fracionária das derivações exteriores e gera equações de movimento no formalismo hamiltoniano cujas derivadas das variáveis canônicas são operadores fracionários. A partir dessa formulação, propomos generalizações dos parênteses de Poisson, buscando investigar a condição para constantes de movimento em sistemas hamiltonianos fracionários. Os efeitos dos parênteses de Poisson propostos foram averiguados a partir de sua implementação de uma função hamiltoniana do oscilador harmônico linear bidimensional relacionada a uma constante de movimento conhecida para esse sistema. A segunda formulação trata-se de uma generalização das integrais de caminho de Feynman para a dinâmica quântica. Nessa abordagem, foram selecionados caminhos tipo voos de Lévy para as integrações, levando a construção de uma mecânica quântica e clássica fracionaria. Essa formulação e caracterizada por uma função hamiltoniana fracionaria. A partir dessa proposta, esse trabalho constrói uma representação de massa inercial para o sistema fracionário, conceito não estabelecido na formulação original em questão. Exploramos ainda o problema de forca central clássico dentro dessa proposta, a partir da construção das equações de movimento no formalismo lagrangeano, levando a interpretação de uma versão fracionaria da segunda lei de Kepler e efeitos de diferentes fractalidades na dinâmica do sistema. Além disso, utilizamos as descrições de energia cinética e momento linear do sistema fracionário para investigar os efeitos de diferentes fractalidades em sistemas conservativos. Para tal, investigamos colisões elásticas unidimensionais no formalismo fracionário. Conseguimos conceber uma condição parcial para a fractalidade do sistema, a qual fornece novas relações entre as velocidades das partículas em colisão. Alem disso, exploramos outras características para a fractalidade do sistema, utilizando expansões em serie de Taylor, para valores de fractalidade não contemplados pela condição encontrada.

Abstract: This work is about the investigation of the properties of classical fractional systems. Such systems are built from the introduction and implementation of non-integer order differential and integral calculus operators in the description of physical systems. In particular, we will approach two distinct proposed formulations, present in the literature, for fractional classical mechanics. The first is constructed from a fractional generalization of the exterior derivations and generates equations of motion in the hamiltonian formalism whose derivatives of the canonical variables are fractional operators. From this formulation, we propose generalizations of Poisson's brackets, seeking to investigate the condition for motion constants in fractional hamiltonian systems. The effects of Poisson's brackets proposed were examined from its implementation on a Hamiltonian function of the twodimensional linear harmonic oscillator related to a known motion constant for this system. The second formulation is a generalization of Feynman path integrals for quantum dynamics. In this approach, Lévy flight-like paths were selected for the integrations paths, leading to the construction of a fractional quantum and classical mechanics. This formulation is characterized by a fractional hamiltonian function. From this proposal, this work builds a representation of inertial mass for the fractional system, a concept not established in the original formulation in question. We also explore the classic central force problem in this proposal, from the construction of the equations of motion in the Lagrangian formalism, leading to the interpretation of a fractional version of Kepler's second law and effects of different fractalities on the system dynamics. In addition, we use the descriptions of kinetic energy and linear momentum of the fractional system to investigate the effects of different fractalities in conservative systems. To do so, we investigate one-dimensional elastic collisions in the fractional formalism. We were able to devise a partial condition for the fractality of the system that provides new relations between the velocities of the colliding particles. In addition, we explored other characteristics for the fractality of the system, using Taylor series expansions, for contemplating fractality values not covered by the condition found.