The problem of quantum scattering in 1D periodic structures : green's functions and continued fractions

Abstract

Resumo: Um problema essencial em fisica e o espalhamento quantico nao-relativistico em redes unidimensionais. Uma vez que o problema de espalhamento pode ser empregado para investigar a transmissao atraves de uma rede cristalina, ha um grande numero de aplicacoes em materia condensada. Para estudar o espalhamento quantico atraves de potenciais localmente periodicos, a tecnica mais implementada e o metodo da matriz de transferencia. Neste trabalho, propomos uma abordagem alternativa que usa a funcao de Green exata para obter relacoes de recorrencia para as amplitudes de espalhamento. As relacoes de recorrencia sao construidas de forma que e possivel utilizar fracoes continuas para determinar os coeficientes de reflexao e transmissao para qualquer potencial periodico formado por uma sequencia de N blocos de construcao localizados, apenas conhecendo as amplitudes de espalhamento de um unico bloco. Uma grande vantagem desta abordagem e que ela pode ser aplicada a potenciais periodicos compostos por um grande numero de celulas. Alem disso, potenciais continuos podem ser modelados com a tecnica desenvolvida nesse trabalho. Considerando o numero substancial de aplicacoes, empregamos como base tres potenciais resolvidos analitica e exatamente: delta de Dirac, barreiras quadradas e barreiras trapezoidais, e estudamos os efeitos de espalhamento de suas possiveis combinacoes, especialmente o comportamento da probabilidade de transmissao para diferentes parametros de potencial e numeros de onda incidentes.

Abstract: An essential problem in physics is the nonrelativistic quantum scattering in one-dimensional networks. Since the scattering problem can be employed to investigate the transmission through a crystal lattice, there are a vast number of applications in condensed matter area. To study quantum scattering through locally periodic potentials, the most implemented technique is the transfer matrix method. In this work, we propose an alternative approach that uses the exact Green’s function to obtain recurrence relations for the scattering amplitudes. The recurrence relations are constructed in such a way that is possible to utilize continued fractions to determine the transmission and reflection coefficients for any periodic potential formed by a sequence of N localized building blocks, just by knowing the scattering amplitudes of a single block. A great advantage of this approach is that it can be implemented to periodic potentials composed of a large number of cells. In addition, continuous potentials can be modeled with the technique developed in this work. Considering the substantial number of applications, we employ three analytically and exactly solved potentials as a basis: Dirac delta, square wall, and trapezoidal wall, and we study the scattering effects of the possible combinations of them, especially the behavior of the transmission probability for different potential parameters and incident wavenumbers.