A Kronecker-based model for multivariate spatial data

Abstract

Resumo: Neste trabalho apresentamos uma proposta de especificação de função de covariância para dados multivariados espacialmente contínuos. Este modelo é baseado no produto de Kronecker de matrizes de covariância para campos aleatórios gaussianos. A estrutura é válida para diferentes funções de covariância marginais, possibilitando que diferentes variáveis tenham diferentes estruturas de dependência espacial, o que faz dele mais flexível. O modelo permite que seus parâmetros variem em seus domínios usuais, o que torna a estimação menos restrita quando comparada com outras abordagens clássicas. O tempo computacional para estimação e a fácil generalização para dimensões maiores decorrem de estrutura do modelo. São apresentados resultados teóricos para a função de verossimilhança e as derivadas da matriz de covariância. São relatados resultados de um estudo de simulação, considerando diferentes cenários paramétricos para avaliar as propriedades assintóticas dos estimadores de máxima verossimilhança. Ilustramos o uso do modelo proposto em dois conjuntos de dados da literatura. Para os dados soil250, medidas de adequação, erros de previsão e tempos de estimação são comparados com os obtidos com base em modelos clássicos. O conjunto de dados meuse é utilizado para ilustrar a flexibilidade do modelo em uma análise para quatro variáveis. A estrutura simples do modelo, aliada à interpretabilidade de seus parâmetros e tempos computacionais para inferência fazem deste modelo um candidato promissor para a análise de dados espaciais multivariados.

Abstract: In this work we present a proposal for a covariance function specification for spatially continuous multivariate data. This model is based on the Kronecker product of covariance matrices for Gaussian random fields. The structure is valid for different marginal covariance functions, allowing different variables to have different spatial dependence structures, which makes it more flexible. Our model allows its parameters to vary in its usual domains, which makes the estimation less constrained when compared to other classical approaches. The reduced computational times and easy generalization to larger dimensions follows from the model definition. Theoretical results for the likelihood function and the derivatives of the covariance matrix are presented. A simulation study considering different parametric scenarios to evaluate the asymptotic properties of the maximum likelihood estimators, is conducted. We illustrate the proposed model in the literature datasets: soil250, for which adequacy measures, forecast errors and estimation times are compared with those obtained based on classical models, and meuse, for illustrate the flexibility of the model in a four-variate analysis. The simple structure of the model, combined with the interpretability of the parameters and computational time for inference make this model a promising candidate for modeling spatially continuous multivariate data.