Verificação de soluções numéricas em problemas difusivos resolvidos com o método Smoothed Particle Hydrodynamics

Abstract

Resumo: A presente pesquisa realiza a verificação de soluções numéricas de equações diferenciais que modelam alguns fenômenos da transferência de calor. As primeiras analises são realizadas por meio de um estudo detalhado de erros numéricos ao aplicar o método "Heterodinâmica das Partículas Suavizadas" (em inglês, Smoothed Particle Hydrodynamics, SPH) para discretizar os modelos matemáticos. Adotando-se discretização uniforme do domínio, foi possível identificar novas fontes de erro numérico especificas do método SPH e por meio delas, foi possível apontar as características das soluções influenciadas por tais erros. A dedução do operador laplaciano 1D e 2D foi de suma importância para a interpretação do erro de suavização que e encontrado apenas nos casos 2D. Com a Multiextrapolação de Richardson (em inglês, Repeated Richardson Extrapolation, RRE) em precisão quádrupla, mostrou-se como aumentar a ordem de acuracia das soluções numéricas e consequentemente, reduzir o erro de discretização em ate 24 ordens de magnitude. Os casos 1D produziram soluções benchmark usando o SPH, que eleva o potencial desse estudo aos níveis de referencia. Os modelos 2D exigem maiores esforços, a começar pela determinação de um método iterativo capaz de resolver os sistemas de equações lineares esparsos, com 25 diagonais, sendo seus elementos associados, números reais. Essa dificuldade foi contornada usando o método de Gauss-Seidel-S paralelizado para matriz compactada e também com Multinivel Algébrico (em inglês, Algebraic Multilevel, AML). O AML mostrou-se uma ferramenta poderosa para resolver os sistemas, determinando speed-up de ate 5136 vezes em relação ao SL paralelizado, isso contribui para que novos trabalhos considerem a não utilização de métodos explícitos para determinar as soluções numéricas com SPH. Identificou-se com o estudo, a necessidade de definir uma nova forma de discretização para que a RRE fosse aplicada ate mesmo em casos onde as partículas possuem movimentação. Dessa forma, definiu-se a discretização por partícula sensor fixa e testes envolvendo discretização desordenada foram apresentados. Por fim, constatou-se que a verificação qualitativa e quantitativa das soluções numéricas por meio dos testes de coerência e métricas, são atualmente, uma metodologia de excelência para tratar problemas da transferência de calor computacional.

Abstract: The present research performs verification of numerical solutions differential equations that model some heat transfer phenomena. The first analyses are performed through a detailed study of numerical errors when applying the Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) method to discretize the mathematical models. By adopting uniform discretization of the domain, it was possible to identify new sources of numerical error specific to the SPH method and through them, it was possible to point out the characteristics of the solutions influenced by such errors. The deduction of the 1D and 2D laplacian operator was of paramount importance for the interpretation of the smoothing error that is found only in 2D cases. With Repeated Richardson Extrapolation (RRE) in quadruple precision, it was shown how to increase the order of accuracy of the numerical solutions and consequently reduce the discretization error by up to 24 orders of magnitude. The 1D cases produced benchmark solutions using SPH, which raises the pontential of this study to benchmark levels. The 2D models require greater efforts, starting with determining an iterative method that was capable of solving the sparse linear equation systems with 25 diagonals, their associated elements being real numbers. This difficulty was circumvented using the parallel Gauss-Seidel-S method for compressed matrix and also with Algebraic Multilevel (AML). AML proved to be a powerful tool to solve the systems, determining speed-up of up to 5136 times compared to parallel SL, this contributes for new works to consider not using explicit methods to determine the numerical solutions with SPH. The study identified the need to define a new form of discretization so that the RRE could be applied even in cases where the particles are moving. Thus, the fixed sensor particle discretization was defined and tests involving disordered discretization were presented. Finally, it was found that the qualitative and quantitative verification of numerical solutions through consistency tests and metrics are currently a methodology of excellence to treat computational heat transfer problems.