Sincronização entre osciladores não lineares acoplados não localmente

Abstract

Resumo: Entender como um grupo de elementos funciona de maneira conjunta é de interesse para uma gama de áreas na Física, principalmente quando associado a outros campos do saber, tais como a Química, Meteorologia e Biologia. Trabalhando com esse último campo, pode-se descrever e entender como alguns fenômenos de sincronização, como controle de hormônios ou regularização de ciclos ocorrem e compreender as chaves para tais efeitos. Para estudar esses efeitos, fazemos algumas simplificações, como considerar os sistemas biológicos como sendo osciladores pontuais que vão emitir e absorver uma substância que se difunde pelo meio e causa o acoplamento entre os osciladores como células interagindo em alguma parte do corpo por meio de hormônios. Utilizando o modelo de acoplamento de Kuramoto em uma rede de todos com todos, nós descrevemos matematicamente como é a interação de um conjunto de osciladores de fase, os quais serão acoplados por meio de uma função que depende da concentração da substância em cada ponto do espaço e do tempo, e da fase dos osciladores, resultando em equação integro-diferencial. A solução da equação integro-diferencial foi obtida por meio de um método de integração numérica que nós revisamos e adaptamos. Tal problema já foi tratado anteriormente, porém todas as abordagens prévias consideravam a difusão da substância no meio como sendo instantânea, simplificando as equações e facilitando as contas. Porém, nós resolvemos esse problema de maneira completa e utilizando um tempo de difusão compatível com os osciladores. Por meio dos métodos desenvolvidos por Kuramoto para o estudo da sincronização, como o parâmetro de Ordem e a análise de frequências perturbadas, entre osciladores, foi possível analisar e perceber como os parâmetros da substância(coeficiente de difusão e degradação) influenciam na sincronização dos osciladores para três geometrias espaciais diferentes.

Abstract: Understanding how a group of elements work together is of interest to a range of areas in physics, especially when associated with other fields of knowledge, such as chemistry, meteorology and biology. Working with the latter field, one can describe and understand how some synchronization phenomena, such as hormone control or cycle regularization occur, and understand the keys to such effects. To study these effects we make some simplifications, such as considering biological systems as being point oscillators that will emit and absorb a substance that diffuses into the medium and causes coupling between the oscillators like cells interacting somewhere in the body by means of hormones. Using Kuramoto’s coupling model in an all-with-all network, we describe mathematically what the interaction of a set of phase oscillators looks like, which will be coupled by means of a function that depends on the concentration of the substance at each point in space and time, and on the phase of the oscillators, resulting in an integro-differential equation. The solution of the integro-differential equation was obtained by means of a numerical integration method that we have reviewed and adapted. Such a problem has been addressed after, but all previous approaches considered the diffusion of the substance in the medium to be instantaneous, simplifying the equations and making the math easier. But we solve this problem completely and using a diffusion time compatible with oscillators. By means of the methods developed by Kuramoto for the study of synchronization, such as the Order parameter and the analysis of perturbed frequencies, between oscillators, it was possible to analyze and realize how the substance parameters (diffusion coefficient and degradation) influence the synchronization of the oscillators for three different spatial geometries.