O método do contorno de paredes aplicado a bilhares poligonais simples

Abstract

Resumo: A proposta do presente trabalho e analisar as soluções dos bilhares quânticos triangular reto e retangular mediante variações de seus parâmetros relacionados à geometria e permeabilidade, respectivamente. Para o bilhar triangular, estudaremos as soluções quando a sua geometria varia na região de transição entre os regimes regular e caótico, sendo estas varia coes causadas pela modificação dos seus ângulos internos ß e a. Para o bilhar retangular, a sua geometria será definida por um contorno externo formando um retângulo constituído também por um segmento de reta conectando dois vértices opostos, caracterizando a diagonal do sistema. Dessa forma, vamos buscar as soluções resultantes de variações na transmissão Td nesta diagonal enquanto as paredes periféricas do contorno mantêm transmissão Tp constante e proxema de zero. O método utilizado para obtenção das soluções e o Método do Contorno de Paredes, uma ferramenta para cálculos de espalhamento quântico que tem por objeto principal a matriz T, a qual carrega informações da geometria e energia E = k2 do bilhar. Utilizando as propriedades da matriz T, podemos obter o espectro do bilhar como função dos seus parâmetros de geometria e permeabilidade para então determinar a dinâmica das famílias de autoestados decorrentes destas variações no espaço de fase k x ß e k x T d. Através da análise das funções de onda associadas a estes autoestados, obtivemos informações de certos comportamentos característicos observados como, por exemplo, a repulsão entre famílias. Ao final, analisamos também a distribuição dos níveis de energia usando a teoria do espaçamento de níveis para identificar a dinâmica do sistema.

Abstract: The purpose of this work is to analyze the solutions of straight and rectangular triangular quantum billiards by varying their parameters related to geometry and permeability, respectively. For triangular billiards, we will study the solutions when their geometry varies in the transition region between the regular and chaotic regimes, these variations being caused by the modification o f their internal angles ß and a. For rectangular billiards, its geometry will be defined by an external contour forming a rectangle also constituted by a line segment connecting two opposite vertices, characterizing the diagonal of the system. Thus, we will seek solutions resulting from variations in the Td transmission on this diagonal while the peripheral walls o f the contour keep Tp transmission constant and close to zero. The method used to obtain solutions is the boundary wall method, a tool for quantum scattering calculations whose main object is the T-matrix, which carries information about the geometry and energy E = k2 of billiards. Using the properties o f the T-matrix, we can obtain the billiard spectrum as a function of its geometric parameters and then determine the dynamics of the families of eigenstates resulting from these variations in the k x ß and k x T d phase space. By analyzing the wave functions associated with these eigenstates, we obtained information about certain observed behaviors such as, for example, the repulsion among families. In the end, we also analyze the distribution of energy levels using the level spacing theory to identify system dynamics.