Aspectos de Gauge em trajetórias Bohmianas

Abstract

Resumo: Para a análise de sistemas microscópicos, devemos usar a estrutura matemática que é chamada de "MECÂNICA QUÂNTICA", nome que foi atribuído por Max Born em 1930. Teremos a oportunidade de descrever duas formulações da mecânica quântica, as quais chamaremos de "FORMULAÇÃO ORTODOXA" e "FORMULAÇÃO BOHMIANA". A formulação ortodoxa é analisada através de postulados, os quais concordam sem exceção com resultados experimentais. A problemática surge no processo de medição, o qual é descrito por uma abstrata transição abrupta, aleatória e irreversível. A formulação Bohmiana não apresenta essa problemática, já que prevê elementos de realidade para as posições das partículas (Bohm chamou as trajetórias de "ONTOLOGIA"), tais posições sendo guiadas por uma "onda piloto", que respeita a equação de Schrödinger em cada ponto r e instante de tempo t. Nossa análise será focada em uma partícula preparada em estado inicial Gaussiano em movimento unidimensional. A abordagem Bohmiana escreve a solução da / \ -,-w N iS(x,t) equação de Schrödinger na forma ^ ( x , t) = R ( x , t ) e e, em busca de uma analogia com a equação de Hamilton-Jacobi, encontra um termo que Bohm chamou de "POTENCIAL QUÂNTICO". A equação de Schrödinger é um dos fundamentos da formulação Bohmiana, assim como as velocidades das partículas Bohmianas. Neste trabalho, analisamos as trajetórias Bohmianas geradas pelo Hamiltoniano H ,(t) = í£=íS f i £ + ( 1 - /')™ ? Y . o qual é construído a partir da troca de referencial para o problema de uma partícula em um pacote de ondas Gaussiano submetida a um campo gravitacional uniforme. Resolvemos o problema analiticamente e mostramos que, assim como as trajetórias do modelo clássico correspondente, as trajetórias Bohmianas são independentes do gauge p. Isso corrobora a ideia de que as trajetórias Bohmianas podem ser vistas como elementos da realidade física.

Abstract: For the analysis of microscopic systems, we must use the mathematical structure that is called "QUANTUM MECHANICS", a name given by Max Born in 1930. We will have the opportunity to describe two formulations of quantum mechanics, which we will call "ORTHODOX FORMULATION" and "BOHMIAN FORMULATION". The orthodox formulation is analyzed through postulates, which agree without exception with experimental results. The problem arises in the measurement process, which is described by an abstract, abrupt, random, and irreversible transition. The Bohmian formulation does not present this problem, since it predicts elements of reality for the positions of the particles (Bohm called these trajectories "ONTOLOGY"), such positions being guided by a "pilot wave" respecting the Schrödinger equation at each point r and time instant t. Our analysis will be focused on a single particle prepared in a Gaussian state in one-dimensional motion. The Bohmian iS(x t) approach writes the solution of the Schrödinger equation in the form ^ (x , t) = R(x, t)e ~tr~ and looking for an analogy with the Hamilton-Jacobi equation, finds a term Bohm called "QUANTICAL POTENTIAL'. In this work, we analyze the Bohmian trajectories generated by the Hamiltonian Hß(t) = ( P + (1 - ß )m g Y , which is constructed from the exchange of referential for the problem of a particle in a Gaussian wave packet subjected to a uniform gravitational field. We solve the problem analytically and show that, like the trajectories of the corresponding classical model, the Bohmian trajectories are independent of the gauge ^. This supports the idea that Bohmian trajectories can be seen as elements of physical reality.