Lattice models in statistical physics and their connection with graph theory

Abstract

Resumo: É bem sabido que existe uma conexão interessante entre a função geradora de spanning tree S T G F (spanning tree generating function) T(z) e a função de partição do modelo de Ising isotrópico (sem cam po magnético) na rede quadrada. Esses dois objetos são aparentemente diferentes. Por um lado, o S T G F T(z) é definido por meio de uma equação diferencial envolvendo a função geradora de probabilidade do passeio aleatório simples numa rede vértice-transitiva e fornece a constante de spanning tree para z = 1. Por outro lado, o modelo de Ising é uma ferram enta criada para m odelar ferromagetismo no contexto de física estatística. Neste trabalho mostramos que essa conexão é mais geral do que apenas no caso descrito. Para m ostrar isso definim os uma S T G F estendida Te(z), que in clu ito d a s as redes q-regulares e que se reduz a T (z ) quando a rede é vértice-transitiva. Fornecem os uma fórm ula integral para Te(z) e a usam os para calcular T (z ) para todos as onze redes Arquim edianas, bem como para computar Te(z) para duas redes não vértice-transitivas relevantes, a rede martini e a rede (4, 82) covering/medial. Além disso, estabelecem os algumas conexões entre a S T G F T(z) e a energia livre do modelo de Ising isotrópico (sem campo magnético) das onze redes Arquim edianas. M ostramos que a energia livre do modelo de Ising pode ser obtida a partir de S T G F por meio de um conjunto de funções auxiliares, ( K ) , . . . , 0 nL( K ), onde n L é um inteiro positivo que depende da topologia da rede. No caso n L = 1 (redes quadrada, triângula, hexagonal, kagome e estrela), obtemos a propriedade adicional de que 0 ( K c) = 1, onde K c é o ponto crítico do sistema. Também definim os a noção de uma função geradora de spanning tree com pesos w S T G F , generalizando a e S T G F , permitindo pesos nas arestas bem como sendo válida para redes não-regulares. Usando essa nova idéia, mostramos as relações entre o modelo de Ising anisotrópico (sem campo magnetico) e a w S T G F na rede quadrada, triangular e hexagonal, e entre a w S T G F e o modelo de Dímeros nas redes quadrada e triangular. Por último, encontramos que a energia livre de um modelo de Random Walk Loop Soup (definido a partir de passeios aleatórios fechados sobre uma rede) pode ser escrita em term os de Te(z) para qualquer rede q-regular. P alavras-chaves: Física estatística. Função geradora de spanning tree. Modelo de Ising..

Abstract: It has been known there exists an interesting connection between the spanning tree generating function S T G F T(z) and the partition function (at zero-field) of the isotropic Ising model on the square lattice. Those two objects are seem ingly different. On the one hand, the S T G F T ( z ) is defined by means of a differential equation involving the probability generating function of the simple random w alk on a vertex-transitive lattice and gives the spanning tree constant when evaluated at z = 1 . On the other hand, the Ising is a sim ple model proposed to describe ferrom agnetism under the realm of statistical physics. In this w ork we show this connection is more general than just in such particular case. To prove that, we define an extended spanning tree generating function Te(z) , which include all the q-regular lattices and reduces to the T(z), when the lattice is vertex-transitive. We provide an integral form ula for Te(z) and use it to calculate the T(z) for all the eleven Archimedean lattices and the Te(z) for two relevant non-vertex-transitive lattices, m a rtin ia n d (4,82) covering/m edial. We establish some links between the S T G F T(z), and the (zero-field) isotropic Ising free energy on the eleven Archim edean lattices. We then dem onstrate that the Ising free energy can be derived from the S T G F via a set of auxiliary functions, f a ( K ) , . . . , 0nL( K ), w here nL is a positive integer that depends on the lattice topology. In the case nL = 1 (square, triangle, hexagonal, kagome and star lattices) we obtain the additional property that 0 ( K c) = 1 , where K c is the critical point of the system. We also propose the notion of a weighted spanning tree generating function w S T G F , which generalizes the e S T G F , allowing positive w eights on the edges and being well defined for non-regular lattices. Using this new idea, we establish relations between the (zero-field) anisotropic Ising model and the w S T G F on the square, triangle and hexagonal lattices, and between the w S T G F and the Dimer model on the square and triangle lattices. Additionally, we show that the free energy of a random w alk loop soup model (defined from closed random walks over the lattice) can be written in terms of Te(z) for any q-regular lattice. K ey-w ords: Statistical physics. Spanning tree generating function. Ising model.