Aproximações do problema de Graetz estendido para quantificar a dispersão e deposição de material particulado em tubos

Abstract

Resumo: Neste estudo a dispersão e deposição de partículas é analisada em um tubo circular simétrico com fluxo laminar plenamente desenvolvido. A adoção dessa abordagem possibilitou uma análise da deposição das partículas de forma analítica, baseada no problema de Graetz estendido, e além disso permitiu analisar a eficiência de amostragem isocinética. É também proposto uma abordagem alternativa, usando uma solução numérica, aplicando-se o esquema de diferenças finitas denominado Crank-Nicolson em conjunto com o método TDMA. Na abordagem analítica emprega-se três rotas distintas, uma com a aplicação direta do método de Frobenius, e outras duas usando a teoria das funções hipergeométricas. A modelagem físico-matemática deu origem a um problema de Sturm-Liouville (que tem autovalores e autofunções associados) e cada solução analítica apresenta-se composta por uma série infinita diferente. Em cada série foi comparado o uso de diferentes quantidades de autovalores, sendo que o número de autovalores utilizados foram 6, 50 e 75. A discussão dos resultados aponta o aparecimento de um fenômeno análogo ao fenômeno de Gibbs nas regiões onde há a sobreposição das condições de fronteira, quando aplicado principalmente o método de Frobenius diretamente. Sobre o olhar da deposição, com maior atenção para as partículas de MP10 e MP2,5, tem-se que os limites de máximo e mínimo de deposição foram de respectivamente 98,14% e 0,09% para MP2,5 considerando o uso de 75 autovalores para o intervalo de velocidade definido na análise. De forma similar, para MP10 a deposição foi de respectivamente 66,72% e 0,08% para os limites de máximo e mínimo de deposição. Além disso, a diferença na taxa de deposição foi mais significativa em velocidades mais elevadas ao se comparar diferentes números de autovalores, tendo seu máximo atingido em * = 1,00 [m/s] o que ajudou a reduzir a superestimação prevista de deposição em 2,02% e 2,03%, para o MP2,5 e MP10 respectivamente, em relação ao uso de 6 autovalores e em 0,05% em relação ao uso de 50 autovalores para o MP2,5 e MP10. Já sobre a ótica da amostragem isocinética, a diferença significativa foi observada pelo emprego de séries diferentes, não tendo sido observadas diferenças gráficas entre o emprego de quantidades distintas de autovalores. Por fim, no resultado numérico, foi verificado que o esquema se torna estável apenas para algumas condições específicas da malha: o tamanho do passo na direção radial precisa ser 10?4 vezes menor do que o tamanho do passo na direção axial, para reduzir a diferença entre a solução analítica e numérica. Em suma, os resultados mostram que a abordagem aqui adotada além de ter uma consonância com a física do problema proposto, possui potencial para contribuir em comparações com análises de campo em condições semelhantes, além de potencializar a investigação do problema em outras configurações. Palavras-chave: Problema de Graetz estendido. Taxa de deposição de material particulado. Método de Frobenius. Funções Hipergeométricas. Amostragem Isocinética.

Abstract: In this study, the dispersion and deposition of particles are analyzed in a symmetrical circular tube with a fully developed laminar flow. The approach of this approach made it possible to analyze the particle deposition analytically, based on the extended Graetz problem, and to analyze the efficiency of isokinetic sampling. An alternative approach is also proposed, using a numerical solution, applying the finite difference scheme called Crank-Nicolson in conjunction with the TDMA method. In the analytical approach, three distinct routes are used, one with the direct application of the Frobenius method, and the other two using the theory of hypergeometric functions. Physical-mathematical modeling gave rise to a Sturm-Liouville problem (which has eigenvalues and eigenfunctions associated) and each analytical solution is composed of a different infinite series. In each series, the use of different amounts of eigenvalues was compared, with the number of eigenvalues used being 6, 50 and 75. The discussion of the results indicated the appearance of a phenomenon analogous to the Gibbs phenomenon in the regions where there is an overlap of the boundary conditions when applied mainly to the Frobenius method directly. Regarding the deposition look, with greater attention to the particles of PM 10 and PM2.5, the maximum and minimum deposition limits were respectively 98.14% and 0.09 % for PM2.5 considering the use of 75 eigenvalues for the speed range defined in the analysis. Likewise, for pm10 the deposition was 66.72 % and 0.08 % respectively for the maximum and minimum deposition limits. Furthermore, the difference in the deposition rate was more significant at higher speeds when comparing different numbers of eigenvalues, with its maximum reaching * = 1.00 [m / s], which helped to reduce overestimation estimated deposition of 2.02 % and 2.03 %, for PM2.5 and PM10 respectively, concerning the use of 6 eigenvalues and 0.05 % reduction concerning the use of 50 eigenvalues for PM2.5 and PM10. Regarding the perspective of isokinetic sampling, the difference found was observed by using different series, no graphic differences were observed between the use of different amounts of eigenvalues. Finally, in the numerical result, it was verified that the scheme becomes stable only for some defined conditions of the mesh: the step size in the radial direction needs to be 10?4 times smaller than the step size in the direction axial, to reduce the difference between the analytical and numerical solution. In short, the results presented that the approach adopted here, in addition to being in line with the physics of the proposed problem, have the potential to contribute to comparisons with field analyzes under similar conditions, in addition to enhancing the investigation of the problem in other configurations. Keywords: Graetz problem extended. Deposition rate of particulate matter. Frobenius method. Hypergeometric functions. Isokinetic sampling.