Experimentos com extrapolação de Richardson completa e algumas variações

Abstract

Resumo: Este trabalho tem como base a Extrapolacao de Richardson (ER) e sua versao aprimorada a Multiextrapolacao de Richardson (MER), cujo objetivo e aperfeicoar as solucoes numericas sem a necessidade de novas simulacoes, funcionando como um pos-processamento de dados. Estas tecnicas sao excelentes aliadas para melhoria das simulacoes, porque possuem um baixissimo custo computacional. Entretanto, nao e possivel realizar extrapolacoes de forma efetiva em todo os pontos do dominio do problema, tambem conhecido por campos. Neste cenario, surgiu a Extrapolacao de Richardson Completa (CRE) e algumas variacoes, tecnicas voltadas para realizacao de extrapolacoes no campo. Desde entao, este conceito e estudado, aprimorado, ou simplesmente utilizado. Neste trabalho sao realizadas extrapolacoes no campo utilizando algumas tecnicas entre elas CRE e introduzindo o conceito de submalhas, baseados em MER e ER, tendo como intuito estender este conceito. Para os experimentos sao utilizados diversos modelos matematicos com solucoes analiticas: Poisson 1D com dois termos fontes, Burgers 1D e 2D, Laplace 2D e Navier-Stokes 2D. As discretizacoes sao realizadas atraves da tecnica de Diferencas Finitas. Para os modelos unidimensionais e Laplace 2D foram utilizadas malhas uniformes e nao uniformes. As simulacoes foram realizadas em linguagem Fortran 90 com precisao quadrupla, sendo essa a precisao maxima de armazenamento disponivel da linguagem. Atraves do conceito de submalha foram obtidos resultados expressivos atingindo em alguns casos erros em modulo inferiores a 10?20, obtendo expressiva reducao em relacao aos erros iniciais. Alem disso, houve consideravel aumento nas ordens de acuracia, nos modelos matematicos empregados. Em alguns casos se mostraram consideravelmente superiores em comparacao com as tecnicas ja existentes. Em geral, apresentaram estabilidade em todos os modelos utilizados, apresentando reducao do erro e aumento das ordens de acuracia em todos os casos. Palavras-chave: Erro numerico. Multiextrapolacao de Richardson. Diferencas Finitas. SubMalha. Extrapolacao de Richardson Completa.

Abstract: This work is based on Richardson extrapolation (RE) and its improved version the Repetead Richardson Extrapolation (RRE), whose objective is to improve numerical solutions without the need for new simulations, working as a post-processing of data. These techniques are excellent allies for improving the simulations, because of their very low computational cost. However, it is not possible to carry out extrapolations effectively in all points of the problem domain, also known as fields. In this scenario, Completed Richardson Extrapolation (CRE) appeared and some variations, techniques aimed at performing extrapolations in the field. Since then, this concept has been studied, improved, or simply used. In this work, extrapolations are performed in the field using some techniques, among them CRE and introducing the concept of sub-meshes, based on RRE and RE, with the intention of extending this concept. For the experiments, several mathematical models with analytical solutions are used: Poisson 1D with two source terms, Burgers 1D and 2D, Laplace 2D and Navier-Stokes 2D. Discretization is performed using the Finite Difference technique. For the one-dimensional and Laplace 2D models, uniforme and non-uniform meshes were used. The simulations were performed in Fortran 90 language with quadruple precision, this being the maximum precision available for storage in the language. Through the sub-mesh concept, expressive results were obtained, reaching in some cases module errors of less than 10?20, obtaining a significant reduction in relation to the initial errors. In addition, there was a considerable increase in orders of accuracy, in the mathematical models employed. In some cases, they have shown to be considerably superior compared to existing techniques. In general, they showed stability in all models used, with a reduction in error and an increase in accuracy orders in all cases. Keywords: Numerical error. Richardson extrapolation. Repetead Richardson Extrapolation. Finite Difference. Completed Richardson Extrapolation. Submeshes