Duas partículas quânticas confinadas em uma região 1D e bilhares triangulares : uma análise semiclássica das limitações do Ansatz de Bethe para o problema

Abstract

Resumo: Sistemas quˆanticos integr'aveis unidimensionais, como redes de spin e gases quˆanticos, s˜ao bem descritos por uma superposi?c˜ao finita de ondas planas, denominada Ansatz de Bethe. Tais sistemas com muitas part'?culas compartilham a caracter'?stica de suas intera?c˜oes serem fator'aveis em v'arias intera?c˜oes de dois corpos, possu'?rem simetria de grupos de reflex˜ao e serem formados, em sua maioria, por part'?culas de massas iguais. Os sistemas com massas diferentes sol'uveis por Ansatz de Bethe encontrados na literatura s˜ao restritos a part'?culas impenetr'aveis para preservar a estrutura de grupo de reflex˜ao. Como essa justificativa n˜ao 'e suficientemente explorada, desenvolvemos uma descri?c˜ao semicl'assica para o sistema de duas part'?culas em uma caixa unidimensional (1D) para entender melhor as restri?c˜oes 'a aplicabilidade do Ansatz de Bethe para massas diferentes. Essa descri?c˜ao semicl'assica consiste em construir uma fun?c˜ao de onda do tipo Ansatz de Bethe estendida para raz˜oes de massas ? geradoras de conjuntos finitos de momentos nas sucessivas colis˜oes cl'assicas das part'?culas. Essa fun?c˜ao de onda estendida foi aplicada para o caso classicamente integr'avel ? = 3 e foi observado que ela satisfaz as condi?c˜oes de contorno apenas no limite de potencial infinito. Como isso n˜ao foi suficiente para inferir se esse caso 'e, ou n˜ao, quanticamente integr'avel, propomos um modelo para calcular o genus do bilhar correspondente (retˆangulo com parede perme'avel em sua diagonal), que permitiu mostrar que ele 'e pseudointegr'avel. Isso vale para todos os bilhares correspondentes as demais raz˜oes de massas ? _= 1. Com a express˜ao do genus, foi poss'?vel representar a fun?c˜ao de onda do tipo Ansatz de Bethe como uma soma infinita de ondas planas no limite do genus infinito, concordando com a Conjectura de Berry. Palavras-chave: Ansatz de Bethe, Duas part'?culas, Bilhar.

Abstract: One-dimensional integrable quantum systems, such as spin networks and quantum gases, are well described by a finite superposition of plane waves, the so-called Bethe Ansatz. Such many-particle systems share a number of characteristics, such as: their interactions being factorable into two-body interactions, displaying reflection symmetries, and, for the most part, consisting of particles of equal masses. Systems with different masses found to be soluble by the Bethe Ansatz are restricted to impenetrable particles, in order to preserve the reflection group structure. The extent to which this requirement is necessary or sufficient is not sufficiently explored, we developed a semiclassical description for the twoparticle system in one-dimensional box (1D) in order to better understand the restrictions on the applicability of Bethe Ansatz for systems with different masses. This semiclassical description consists in applying a wave function of the type Bethe Ansatz to mass ratios ? that generate finite sets of momenta in the successive classical collisions of particles. We find that this extended wave function, when applied to the classically integrable case ? = 3, satisfies the boundary conditions only at the limit of infinite potential. As this result is inconclusive with respect to the system's quantum integrability, we proceeded to calculate the genus of the corresponding billiards (rectangles with permeable diagonal walls), which allowed us to demonstrate the system to be pseudointegrable. This is true for all billiards corresponding to any ? _= 1 mass ratios. Using the genus expression, we could write the Bethe Ansatz wave function as an infinite sum of plane waves in the limit of infinite genus, in agreement with Berry Conjecture. Keywords: Bethe Ansatz, Two particles, Billiard.