Modelagem de circuitos elétricos com efeito de memória através do cálculo fracionário

Abstract

Resumo: Nos últimos anos houve um grande aumento de pesquisas referente ao cálculo fracionário e nos mais diversos ramos da ciencia, como a física, controle de sistemas, economia, biomedicina, areas da ciencia aplicada e engenharias. Atualmente a modelagem dos circuitos sao realizadas com o calculo de ordem inteira, porem sabe-se que os circuitos eletricos possuem efeito de memoria e nao-linearidade no qual atraves da modelagem usual nao se observa todo esse comportamento, e a modelagem com o calculo fracionario e uma das possíveis formas de analisar esse efeito. Neste trabalho e exemplificado a modelagem de um circuito usual, no caso um circuito RC, para diferentes valores da derivada, e, tambem, proposto um modelo matematico adaptado da definicao de Grunwald-Letnikov, para ser inserido na modelagem com estrutura de blocos em serie e para a estrutura de blocos em paralelo, e assim realizar a modelagem comportamental em amplificadores de potencia de radio frequencia. Foram utilizados três conjuntos de dados, contendo amostras de entrada e saída, de dois amplificadores de potencia para testar o modelo proposto e comparar as respostas com outros modelos ja utilizados na literatura, como por exemplo o Polinomio de Memoria e a modelagem de blocos em serie, atraves do erro quadrático medio normalizado. Realizadas as simulacoes para esses conjuntos de dados, nota-se que o modelo proposto, implementado nas estruturas em serie e paralelo, obteve respostas iguais aos modelos comparativos, isso para mesmas ordens de truncamentos e quantidade de coeficientes. Observa-se tambem, que o modelo proposto e capaz de reduzir a quantidade de coeficientes sem reduzir a precisao da modelagem, onde simulacoes foram realizadas com reducao de ate 50% dos coeficientes e nao houve perda considerável, em relacao ao modelo em comparacao. Palavras Chave: Calculo Fracionario, Derivadas Fracionarias, Efeito de Memoria, Modelagem de Circuitos.

Abstract: In the recent years, an increase in research in the area of fractional calculus and in the most diverse branches of science has been recorded, such as physics, control systems, economics, biomedicine, applied science and engineering. Current circuit modeling techniques are performed with calculations of integer order, but it is known that electrical circuits have memory effect and non linearity, which cannot be observed by means of the usual modeling methods, thus the fractional calculation approach is one of the possible ways of analyzing this effect. In this work, an usual circu it, which is a RC circuit, is modeled and exemplified for different values of the derivative. Besides, a mathematical model adapted from the Grunwald-Letnikov definition is proposed to perform behavioral modeling in radiofrequency power amplifiers, one for serial block structure modeling and another for parallel block structure modeling. Input and output samples from three different data sets obtained for two power amplifiers were used to test the proposed model and to compare the responses with other models already used in the literature, such as the Memory Polynomial model and the serial block modeling, using the normalized mean square error. Once the simulations were performed for the data sets, the proposed models, implemented in series and parallel structures, obtained similar answers of the comparative models, for the same truncation orders and the same number of coefficients. It is also observed that the proposed models are able to reduce the number of coefficients without reducing the precision of the modeling, in which simulations were performed with reduction of up to 50% of the coefficients and it did not present considerable loss, when compared to other models. Keywords: Fractional Calculus, Fractional Derivatives, Memory Effect, Circuit Modeling.