Sincronização de osciladores com acoplamento mediado pela difusão de uma substância

Abstract

Resumo: A sincronizacao ocorre quando um grupo de osciladores autonomos acoplados ajustam seus ritmos. Esse fenomeno de carater nao-linear tem importancia do ponto de vista biologico, uma vez que a natureza e repleta de osciladores. Uma serie de estudos sobre a sincronizacao de osciladores biologicos foi feita por Arthur Winfree, que propos que a sincronizacao ocorria como um processo de limiar. Essa ideia foi aperfeicoada por Yoshiki Kuramoto, que em seu modelo de osciladores de fase confirmou a ideia de Winfree. Em especial, Kuramoto estudou o problema de osciladores acoplados por uma substancia quimica, como celulas. Kuramoto considerou que as celulas absorviam e secretavam a substancia, e que a dinamica interna das celulas dependia da concentracao local da substancia. Porem, ele considerou que o tempo de difusao da substancia era muito menor que o periodo de oscilacao interno das celulas. Como consequencia, o trabalho de Kuramoto nao pode ser usado para descrever problemas onde o tempo de difusao e maior ou da mesma ordem que o periodo de oscilacao interna das celulas. Neste trabalho, estuda-se o caso de forma generalizada, resolvendo a equacao de difusao com o uso de funcoes de Green. Ainda, com a solucao exata do problema de difusao, e investigado a sincronizacao de frequencias e de fases das celulas, e como os parametros do sistema, como o coeficiente de difusao e de degradacao da substancia quimica no meio intercelular afetam a sincronizacao. Palavras-chaves: Osciladores biologicos, Sincronizacao, Acoplamento nao-local .

Abstract: Synchronization occurs when a group of coupled oscillators adjusts their rhythms. This nonlinear phenomen is relevant to biology since the nature is replete of oscillators. A series of studies on synchronization of biological oscillators was made by Arthur Winfree, who proposed that synchronization occurred as a threshold process. This idea was improved by Yoshiki Kuramoto which in his phase oscillator model confirmed the theory of Winfree. In another moment, Kuramoto studied the coupling among oscillators mediated by a chemical diffusing substance, like cells. In this model the cells govern the secretion of the chemical substance and can also absorb the substance, the dynamics of the cells depends on the local concentration of this substance at each cell position. But Kuramoto supposed that the diffusion time was smaller than the characteristic oscillation time of the cells. Hence, his model cannot fit problems where the diffusion time is greater or of the same order as the characterisc oscillation time of the cells. In order to obtain a model without restraints about the diffusion time, in this work we studied the general case, solving the diffusion equation with the suitable Green functions. Besides that, with the exact solution to the diffusion problem, we investigate the synchronization of frequencies and phases of the cells, and how the parameters of the system, like the diffusion coefficient and the degradation of the substance, affect the synchronization. Keywords: Phase oscillators, Synchronization, Nonlocal coupling.