Estudo da equação de Boussinesq em duas dimensões horizontais

Abstract

Resumo: Esta pesquisa busca investigar o eventual benefício propiciado pela consideração da não hidrostaticidade da distribuição de pressões em escoamentos fluidos. Para tanto propõe-se as equações de Boussinesq deduzidas neste trabalho em sistema de coordenadas cartesianas para duas dimensões espaciais, para aplicação a escoamentos clássicos. Para a solução numérica foram utilizados os métodos de Galerkin Descontínuo e de Runge-Kutta, respectivamente para a discretização no espaço e no tempo. Para o desenvolvimento da presente tese é apresentada uma revisão dos temas matemáticos e computacionais necessários. Foram aplicadas as Equações de Boussinesq a escoamentos bidimensionais de ruptura de uma barragem cilíndrica com duas condições de fluxo e a um escoamento supercrítico em uma contração, onde ocorre a formação de ondas de choque. Os termos de correção da não hidrostaticidade foram calculados a partir de derivadas espaciais e temporais das componentes do vetor velocidade. Foi adotada a Série de Fourier para permitir a determinação de uma superfície espacial interpolando os valores de velocidades, a partir da qual foram determinadas as derivadas. Os resultados obtidos com a consideração da não hidrostaticidade - Equações de Boussinesq - apresentam resultados similares aos obtidos com a adoção das Equações de Águas Rasas, porém com um esforço computacional maior.

Abstract: This research investigates the possible benefit of considering the non-hydrostaticity of the pressure distribution in fluid flows. We propose the Boussinesq equations deduced in this work in Cartesian coordinate system for two spatial dimensions, applied to classical flows. For the numerical solution, the Galerkin Discontinuous and Runge-Kutta methods were used, respectively for the discretization in space and time. A review of the necessary mathematical and computational themes is presented. The Boussinesq equations were applied to twodimensional rupture flows of a cylindrical dam with two downstream flow conditions and to a supercritical flow in a contraction, where shock waves occur. The non-hydrostatic correction terms were calculated from spatial and temporal derivatives of the velocity components. The Fourier Series was adopted to allow the determination of a spatial surface interpolating the velocity values, from which the derivatives were determined. The results obtained with the consideration of non-hydrostatic pressure distribution - Boussinesq equations - present similar results to those obtained with the adoption of Shallow Water Equations, but with a greater computational effort.