Propriedades do mapa padrão na transição do conservativo para dissipativo

Abstract

Resumo: Esta tese tem como tema principal estudar os efeitos causados devido a inclusão de um termo de dissipação em sistemas dinâmicos não-lineares. Em geral, o espaço de fases de um sistema dinâmico capaz de descrever um sistema físico realístico, apresenta coexistência de estruturas regulares e caóticas. A presença da dissipação provoca a quebra de torus irracionais e faz com que as ilhas regulares percam suas formas. Uma descrição detalhada sobre os efeitos provocados pela dissipação é feita nesta tese com o uso dos expoentes de Lyapunov a tempos finitos (ELTFs), que quantifica a divergência/convergência exponencial das trajetórias. A razão de uma trajetória dissipativa convergir para um atrator e não outro, depende da dissipação utilizada e de uma possível hierarquia com a ordem das ilhas ressonantes. Para as trajetórias iniciadas em regiões ressonantes de mesma ordem, os caminhos escolhidos pelas trajetórias dissipativas tem ligações com regiões hiperbólicas existentes no espaço de fases, um estudo ainda em andamento. Os ELTFs foram utilizados para mostrar as formações das ilhas regulares em meio às regiões caóticas em função do parâmetro de não-linearidade do mapa padrão. Eles também foram utilizados para determinar os parâmetros para os quais as trajetórias dissipativas mudam de atratores. O aparecimento de picos nos valores negativos dos ELTFs, indicam quais são os parâmetros que fazem os atratores deixarem de existir, o que leva a trajetória a escolher outro atrator.

Abstract: This thesis aims to study dissipation effects in typical nonlinear dynamical system. Usually, the dynamics of a realistic physical system exhibits the coexistence of regular and chaotic structures in phase space. The presence of dissipation induces the breaking of the invariant torus and the regular islands loose their shapes. A detailed description of the dissipation effects performed by using the finite time Lyapunov exponents (FTLEs), that quantify the exponential divergence/convergence of nearby trajectories. The reason why dissipative trajectories converge to a particular attractor (and not to another), depends on the considered dissipation and a possible hierarchy relative to the order of the resonant island. For trajectories starting close to resonant regions of the same order, the paths followed by the dissipative trajectories are related to existing hyperbolic regions in the phase space, a work still in progress. The FTLEs were also used to identify those parameters inducing the dissipative trajectories to jump abruptly from one attractor to another. The appearance of peaks amid negative FLTEs, indicates the parameters which make the attractors vanish, inducing the trajectories to find new attractors.