Desempenho de um algoritmo multigrid paralelo aplicado à equação de Laplace

Abstract

Resumo: Entre os métodos mais eficientes empregados na solução de sistemas de equações estão os métodos multigrid. Apesar de numericamente eficientes, a solução de sistemas de equações com um grande número de incógnitas pode resultar em elevado tempo de CPU, visto que normalmente apresentam tempo de processamento proporcional ao número destas. Uma possível solução para este problema é a paralelização destes métodos através do particionamento do domínio em subdomínios menores (menos incógnitas). Neste trabalho foi resolvido numericamente o problema de condução de calor bidimensional linear governado pela equação de Laplace com condições de contorno de Dirichlet. Utilizou-se o Método das Diferenças Finitas (MDF), com esquema de aproximação de segunda ordem (CDS) para discretização do modelo matemático. Os suavizadores (solvers) utilizados foram os métodos Gauss-Seidel red-black e Jacobi ponderado. Para a obtenção da solução, foi empregado o método multigrid geométrico, com esquema de correção CS, restrição por ponderação completa, prolongação utilizando interpolação bilinear e número máximo de níveis para os diversos casos estudados. A paralelização do multigrid foi realizada aplicando-se uma metodologia, proposta neste trabalho, a cada uma de suas componentes algorítmicas: solver, processo de restrição, processo de prolongação e cálculo do resíduo. Os resultados podem ser considerados positivos, pois verificou-se que, além do tempo de CPU ter sido reduzido significativamente, este diminuiu à medida que o número de processadores utilizados aumentou.

Abstract: Multigrid methods are among the most effective techniques for solving systems of equations. Despite numerically efficient, the solution of large systems of equations can result in high CPU time, since, usually, the time needed for processing is proportional to the number of unknowns. A possible solution to this problem is the parallelization of these methods through the partitioning of the domain on subdomains (fewer unknowns). In the present work a two-dimensional linear heat transfer conduction problem, given by a Laplace-type equation with Dirichlet boundary conditions, was numerically solved. The numerical model was obtained by the use of the Finite Difference Method (FDM) with a second-order approximation scheme (CDS). The solvers associated with the Geometric Multigrid Method were the Gauss-Seidel red-black and weighted Jacobi. In order to achieve the numerical solution, the Geometric Multigrid Method was used, associated with correction scheme (CS), full-weighting scheme for restriction, bilinear interpolation for prolongation and the maximum number of levels for each one of the studied cases. The Multigrid parallelization was performed by applying a methodology, proposed in this work, at each one of its algorithmic components: solver, restriction process, prolongation process and residual calculating. The results are considered positive, since it has been found that the CPU time was significantly reduced, and in proportion to the increase of the number of processors.