Classe de métodos Chebyshev-Halley inexata livre de tensores com convergência cúbica para resolução de sistemas não lineares e um estudo sobre o raio de convergência

Abstract

Resumo: Esta tese introduz dois novos resultados sobre a Classe Chebyshev-Halley para resolução de sistemas não-lineares. Os métodos dessa classe possuem convergência cúbica, tendo portanto uma taxa de convergência superior a do método de Newton. Em contrapartida, esses métodos são mais caros computacionalmente, por necessitarem de derivadas de segunda ordem. O primeiro resultado apresentado _e um resultado teórico. Introduzimos um novo raio de convergência para a Classe Chebyshev-Halley, ou seja, mostramos que dado qualquer ponto inicial pertencente à uma bola centrada em uma solução com o novo raio, a sequência gerada por qualquer método da Classe Chebyshev-Halley é bem definida e converge para a respectiva solução com taxa de convergência cúbica. Comparamos com o raio utilizado na prova de convergência dada no livro Numerische Losung Nichtlinearer Gleichungen [70] para os métodos Halley, Chebyshev e Super-Halley, através de alguns exemplos. As comparações apresentadas sugerem perspectivas futuras, tais como determinar o raio ótimo de convergência. O segundo resultado apresentado é a introdução de uma nova classe de métodos, chamada Classe Chebyshev-Halley Inexata livre de tensores, cujo objetivo _e baratear o custo computacional da Classe Chebyshev-Halley, no que tange o uso da derivada de segunda ordem e a resolução de dois sistemas lineares. A grosso modo, não utilizamos informações de derivada de segunda ordem e os dois sistemas lineares, necessários para a obtenção do passo, podem ser resolvidos de maneira inexata. Além de apresentar a prova de convergência, mostramos que, dependendo das hipóteses, os métodos dessa classe podem ter taxa de convergência superlinear, quadrática, superquadrática e cúbica. Mostramos também que essas hipóteses são bastante razoáveis. Porém, comparações numéricas são apresentadas, mostrando uma melhoria significativa quando se usa a estratégia inexata livre de tensores, proposta nesta tese, nos métodos clássicos da Classe Chebyshev-Halley.

Abstract: This thesis introduces two new results about the Chebyshev-Halley Class for solving nonlinear systems. The methods in this class have third-order rate of convergence, which means they have a better rate of convergence than Newton's method. In contrast, these methods are computationally expensive, requiring second-order derivatives. The _rst result presented is a theoretical result. We introduce a new convergence radius for the Chebyshev-Halley Class, that is, we proved that given any starting point belonging to a ball centered at a solution with the new radius, the sequence generated by any method in the Chebyshev-Halley Class is well de_ned and converges to that solution with cubic convergence rate. We compared the new radius with the one given in the book Numerische L osung Nichtlinearer Gleichungen [70] for Halley, Super-Halley and Chebyshev methods, using some examples. The comparisons suggest future perspectives, such as determining the optimal radius of convergence. The second result presented is the introduction of a new class of methods, called Inexact Chebyshev-Halley tensor free Class, whose goal is to reduce the computational cost of the Chebyshev-Halley Class, by not computing the second-order derivatives and by approximately solving two linear systems required for obtaining the necessary intermediate computations. Besides presenting the proof of convergence, we show that, depending on the assumptions, the methods of this class can have superlinear, quadratic, superquadratic and cubic convergence rates. We also show that these assumptions are quite reasonable. Finally, numerical evidence that shows signi_cant improvement when utilizing the inexact tensor free strategy (in the context of the classical methods of Chebyshev-Halley class) proposed in this thesis is presented.