Convergência global dos métodos de filtro para programação não linear

Abstract

Resumo: Discutimos neste trabalho uma classe de métodos para programação não linear. Tais métodos, conhecidos como métodos de filtro, foram introduzidos recentemente por Fletcher e Leyffer com o objetivo de evitar o uso de funções de mérito, uma ferramenta comum na maioria dos algoritmos para otimização com restrições. Ao invés disso, a idéia é usar um filtro para induzir a convergência, que interfere o mínimo possível nos passos obtidos pelo algoritmo. Apresentamos um algoritmo geral de filtro com uma grande liberdade para o cálculo do passo. O algoritmo é muito simples e consiste basicamente em calcular um ponto não proibido pelo filtro, a partir do ponto corrente. Provamos a convergência global do algoritmo proposto, assumindo que o passo seja eficiente, no sentido de que, perto de um ponto viável não estacionário, o decréscimo da função objetivo seja "grande". Mostramos que esta condição é razoável, exibindo dois algoritmos clássicos para a obtenção do passo, que satisfazem tal hipótese. O primeiro obtém o passo pelo método de restauração inexata de Martínez e Pilotta e a prova de que a condição é satisfeita é dada por Gonzaga, Karas e Vanti. Outra forma de calcular o passo é pelo método de programação quadrática sequencial. Provamos neste trabalho que esta abordagem também cumpre a referida condição. Discutimos também aspectos de convergência local, como o uso de correção de segunda ordem para evitar o efeito Maratos, um sério problema deste e de outros critérios de aceitação de passo que pode comprometer seriamente a eficiência do algoritmo. Realizamos testes computacionais utilizando uma família de problemas conhecidos como Hard-Spheres problemas, que fornece um conjunto conveniente de problemas-teste para avaliar e comparar algoritmos de programação não linear.

Abstract: In this work we discuss a class of methods for nonlinear programming. Such methods, known as filter methods, were introduced recently by Fletcher and Leyffer, whose aim is to dispense the need for a merit function, a common tool in most algorithms for constrained optimization. Instead, the idea is to use a filter to induce convergence, which interferes as little as possible with the step obtained by the underlying method. We present a very general filter algorithm that allows a great deal of freedom in the step computation. The algorithm consists basically in computing a point which is not forbidden by the filter, from the current point. We prove its global convergence, assuming that the step must be efficient, in the sense that, near a feasible non-stationary point, the reduction of the objective function is "large". We show that this condition is reasonable, by presenting two classical ways for performing the step, satisfying this condition. On the first one, the step is obtained by the inexact restoration method of Martínez and Pilotta and the proof of such a condition is given by Gonzaga, Karas and Vanti. Another way for computing the step is by sequential quadratic programming. We prove in this work that this approach also satisfies the efficiency condition. We also discuss local convergence features, like the usage of a second order correction in order to avoid the Maratos effect, a serious defect of this and other step-acceptance criteria, which can reduce the convergence rate of the algorithm. We perform numerical tests on a family of problems known as Hard-Spheres problems, that provides a suitable set of test problems for evaluating nonlinear programming codes.