Desenvolvimento de algorítmos matemáticos aplicados a confiabilidade estrutural

Abstract

Resumo: A resolução de problemas de confiabilidade estrutural pelo Método de Primeira Ordem requer a utilização de algoritmos de otimização para encontrar a menor distância entre a função de estado limite e a origem do espaço normal padrão. O algoritmo Hasofer-Lind- Rackwitz-Fiessler (HLRF), desenvolvido especificamente para este fim, tem sido eficiente, mas não robusto, pois não converge para um número significativo de problemas. Métodos de programação não linear, como por exemplo, Gradiente Projetado, Lagrangeano aumentado e Programação Quadrática Sequencial, já foram empregados na resolução de problemas de confiabilidade estrutural. Entretanto, diversas pesquisas e vários métodos de otimização foram desenvolvidos recentemente, especialmente com relação aos métodos de Lagrangeano aumentado, em que novas funções de penalidade e métodos modernos têm sido elaborados. Neste trabalho, três novos algoritmos de otimização são apresentados. O primeiro, denominado nHLRF, foi desenvolvido especificamente para aplicação ao problema de confiabilidade estrutural. Tal algoritmo baseia-se no algoritmo HLRF, no entanto, utiliza uma nova função de mérito diferenciável com as condições de Wolfe para a seleção do comprimento do passo na busca linear. Sob certas hipóteses, o algoritmo proposto gera uma sequência que converge para um minimizador local do problema. Os outros dois algoritmos propostos baseiam-se em Lagrangeanos aumentados. Ambos utilizam penalidades quadráticas e a estrutura dos métodos de Lagrangeano aumentado modernos empregados na resolução de problemas com restrições de desigualdade. Para este caso, foi mostrado que sob hipóteses convencionais a função Lagrangeano aumentado gerada pelos dois métodos tem um minimizador local. Os métodos de Lagrangeano aumentado com a penalidade clássica, bem como com as novas funções de penalidade, foram implementados em Matlab e os testes numéricos executados com problemas da coleção CUTEr. Para esses testes os algoritmos de Lagrangeano aumentado propostos mostraramse mais eficientes do que o método de Lagrangeano aumentado clássico. O desempenho e a robustez dos novos algoritmos também foram comparados na resolução de problemas de confiabilidade estrutural. O novo algoritmo nHLRF mostrou-se mais robusto do que HLRF e iHLRF (versão melhorada do HLRF), e tão eficiente quanto o algoritmo iHLRF. Os dois métodos Lagrangeano aumentado propostos foram mais eficientes que o método clássico e mais robustos que os métodos baseados no algoritmo HLRF, principalmente na resolução de problemas com um número maior de variáveis aleatórias.

Abstract: Solution of structural reliability problems by the First Order method requires the use of optimization algorithms to find the smallest distance between a limit state function and the origin of standard Gaussian space. The Hasofer-Lind-Rackwitz-Fiessler (HLRF) algorithm, developed specifically for this purpose, has been shown to be efficient but not robust, as it fails to converge for a significant number of problems. Nonlinear programming methods, such as Projected Gradient, Augmented Lagrangian and Sequential Quadratic Programming, have already been tested in application to structural reliability problems. However, many studies and several optimization methods have been developed recently, specially about the augmented Lagrangian methods, in which new penalty functions and modern methods have been developed. In the present work, three new optimization algorithms are presented. The first algorithm, named nHLRF, was developed specifically for structural reliability problems. This algorithm is based on the HLRF, although it uses a new differentiable merit function with Wolfe conditions for step length selection in linear search. It is shown that, under certain assumptions, the proposed algorithm generates a sequence that converges to the local minimizer of the problem. The other two proposed algorithms are based on augmented Lagrangian. Both use quadratic penalties and the structure of modern augmented Lagrangian methods to solve problems with inequality constraints. For this case, it is shown that under conventional hypotheses, the augmented Lagrangian function generated by the two methods has a local minimizer. The augmented Lagrangian methods with the classical penalty as well as with the new penalty functions, were implemented in Matlab and numerical tests were performed with problems from CUTEr collection. For these tests, the proposed Augmented Lagrangian algorithms proved to be more efficient than the classical augmented Lagrangian method. Performance and robustness of the new algorithms were also compared in solving structural reliability problems. The new algorithm nHLRF proved to be more robust than HLRF and iHLRF (improved version of HLRF), and as efficient as the iHLRF algorithm. The two proposed augmented Lagrangian methods proved to be more efficient than the classical augmented Lagrangian method and more robust than the methods based on the HLRF algorithm, mainly in solving problems with large number of random variables.