Estudo do comportamento das soluções de equações diferenciais parciais parabólicas usando o método das características

Abstract

Resumo: Este trabalho tem como objetivo estudar as soluções de equações diferenciais parabólicas usando o método das características. Este método consiste em transformar uma equação diferencial parcial de segunda ordem, em um sistema de equações de primeira ordem. Estas equações são resolvidas através de integração ao longo das linhas características de cada equação. Porém na Difusão, não se pode obter duas equações. Desta forma o método não se aplicaria a esse tipo de equação, por essa razão, foi necessária uma adaptação no método das características tradicional para que pudesse ser usado em equações parabólicas. Esta adaptação teve um preço alto, pois através dela foram gerados sistemas que para serem resolvidos, exigem o conhecimento a priori da solução da equação. A adaptação também gerou integrais que exigem um considerável esforço analítico para sua resolução. Após aplicação do método verificou-se que a solução obtida através deste "pseudo" método das característica era idêntica aquela obtida analiticamente, ou seja, o método possui consistência suficiente para recuperar a solução.

Abstract: In this work we study the behavior of solutions of second-order parabolic partial differential equations by means of the method of characteristics. The equation is first converted to a system of first-order equations which can then, in principle, be solved by simple quadrature along the characteristic lines. It is well known, however, that this is not immediately possible for parabolic equations: the resulting system in this case possesses only one eigenvector, and therefore only one characteristic direction. In order to circumvent this difficulty, it was necessary to adapt the method of characteristics as follows. We assume that the solution is known, and change the first-order system of equations to recover two eigenvectors. This comes at a high price, as the solution has to be known in advance. Then, with derivatives of the solution incoporated to the first-order system of equations, the method of characteristics can be applied, and the analytic solution is recovered. The procedure can therefore be applied in a consistent way. We conjecture that our analytical treatment can be adapted to generate iterative solutions by simple numerical methods.