Métodos de função de Green na análise de grafos quânticos e caminhadas quânticas

Abstract

Resumo: Nesta tese mostramos que a função de Green exata para grafos quânticos pode ser escrita exatamente na mesma forma funcional da chamada função de Green semiclássica generalizada para sistemas quânticos 1D. Tal resultado é muito importante devido ao fato que as funções de Green semiclássica generalizadas podem ser calculadas por métodos recursivos, um fator chave para resolver grafos quânticos arbitrários. De forma geral, a função de Green exata para grafos quânticos é dada como uma soma sobre caminhos clássicos, onde efeitos quânticos locais são levados em conta através das amplitudes de reflexão e transmissão definidas em cada vértice do grafo (e calculadas a partir das condições de contorno impostas nos vértices do grafo). Então, desenvolvemos dois procedimentos de simplificação para resolver nossos sistemas, reagrupamento dos caminhos e separação de um grafo grande em pequenos blocos. Grafos quânticos abertos e fechados são então analisados. Mostramos como obter as soluções de espalhamento para o primeiro e os autoestados para o últimos. Por exemplo, para grafos quânticos do tipo árvore binária e Sierpinski obtemos as probabilidades de transmissão como função do número de onda da onda plana incidente. Como uma outra aplicação, também discutimos quase estados em grafos quânticos. Baseados em nossa construção para grafos quânticos. consideramos caminhadas quânticas discretas. Demonstramos que as duas formulações usadas na literatura, caminhadas quânticas com moeda e caminhadas quânticas de espalhamento, são equivalentes em 1D. Adicionalmente, pelo mapeamento das caminhadas quânticas discretas numa rede de Kronig-Penney generalizada, mostramos que é possível construir uma função de Green dependente da energia para o problema, mesmo em topologias arbitrárias. Podemos interpretar a expansão em série para a função de Green como uma expansão de Fourier, então cada termo representa um termo dependente do tempo do propagador discreto, sendo deslocamentos para certo número de passos de tempo. Assim, as probabilidades da caminhada para um número de passos qualquer são obtidas diretamente da funções de Green por meio de operadores de projeção apropriados, discutidos explicitamente neste trabalho.

Abstract: In this thesis we show that the exact Green function for quantum graphs can be written in exactly the same functional form than the so called generalized semiclassical Green function for 1D quantum systems. Such result is very useful because generalized semi classical Green functions can be calculated by recursive methods, a key factor to solve arbitrary quantum graphs. Generally, the exact Green function for quantum graphs is given as a sum over classical paths, where local quantum effects are taking into account through the quantum reflection and transmission amplitudes defined on each vertex of graph (and derived from proper boundary conditions imposed to the graph vertices). Then, we develop two simplifying procedures to solve our systems, namely, regrouping of paths and separation of a large graph into small blocks. Open and closed quantum graphs are then analyzed. We show how to obtain the scattering solutions for the for mer and eigenstates for the latter. For instance, for open binary trees and Sierpinski like quantum graphs we obtain the transmission probabilities as function of the wavenumber of incident plane waves. As another application, we also discuss quasistates in quantum graphs. Based on our constructions for quantum graphs, we consider discrete quantum walks. We demonstrate that the two major formulations in the literature, coined and the scattering, are equivalence in 1D. Moreover, by mapping discrete quantum walks in a generalized Kronig-Penney lattice, we show that it is possible to construct an energy dependent Green function for the problem, even in arbitrary topologies. Furthermore, we can interpret the series for such Green function as a Fourier expansion, so each term represents a timedependent term of the discrete propagator, so being displacements at certain number of time steps. Hence, the walk probabilities for any number of steps are obtained direct from the Green function by means of appropriate projector operators, derived explicit in this work.