Modelo computacional para descrever o remodelamento ósseo no movimento ortodôntico usando potenciais termodinâmicos generalizados e otimização

Abstract

Resumo: Esta dissertação aborda a modelagem constitutiva do osso e o estudo do remodelamento ósseo. É comum encontrar na literatura a idéia de que a remodelação óssea aparece não só como uma adaptação funcional, mas também como a necessidade de remoção de danos da estrutura óssea na forma de microfissuras e microfraturas. Recentemente, a teoria da termodinâmica com variáveis internas tem sido aplicada à modelagem constitutiva dos materiais vivos. Segundo essa teoria, o comportamento constitutivo de um material é completamente definido por dois potenciais termodinâmicos: um potencial de energia e um potencial de dissipação. As leis de estado que relacionam variáveis de estado (deformações e variáveis internas) com variáveis associadas (tensões e forças termodinâmicas) são obtidas a partir do potencial de energia, enquanto as leis de fluxo derivam do potencial de dissipação. Aenergia livre de Helmholtz foi utilizada para definição do potencial de energia. O processo de remodelação óssea acopla ações de reabsorção e formação óssea, processos esses executados pelas células ósseas osteoclastos e osteoblastos. As variações hormonais também atuam como inibidores e/ou ativadores destas células, assim como os níveis de deformação. O objetivo deste trabalho é o desenvolvimento de um modelo numérico-computacional que permita simular o comportamento do tecido ósseo submetido a cargas. Como aplicação da teoria foi modelado um exemplo do tratamento ortodôntico. O Método dos Elementos finitos é utilizado para a discretização espacial e a resolução das equações de equilíbrio e das equações constitutivas são resolvidas por algoritmos de programação matemática. A região de tensões generalizadas admissíveis, por sua vez, surge naturalmente na abordagem termodinâmica quando a forma do potencial de dissipação é conhecida previamente. Evidencia-se que é possível formular modelos constitutivos para materiais vivos segundo o enfoque termodinâmico, aplicando técnicas e conceitos bem estabelecidos da análise convexa e da otimização. Demonstra-se que, para o modelo em estudo, o potencial de dissipação pode ser obtido a partir da resolução de um problema de otimização pela técnica de multiplicadores de Lagrange. As simulações foram realizadas com um programa desenvolvido na linguagem FORTRAN onde foi possível analisar a distribuição de tensões, deformações, rigidez e densidades na matriz óssea utilizando um pós processamento no software Paraview ®, que possui código aberto e utiliza rotinas em VTK (Visualization Tool Kit).

Abstract: This dissertation deals with the constitutive modeling of the bone and the study of bone remodeling. It has been common to find in literature the idea of that bone remodeling happens not only as a functional adaptation, but as the need for removal of damage to bone structure in the form of microcracks and microfractures. Recently, the theory of thermodynamics with internal variables has been applied to constitutive modeling of living materials. According to this theory, the constitutive behavior of a material is completely defined by two thermodynamic potentials: an energy potential and a dissipation potential. The laws that relate the state variables (deformations and internal variables) with associated variables (stresses and thermodynamic forces) are obtained from the potential energy, while the laws of flow are derived from the dissipation potential. The Helmholtz free energy was used for the definition of potential energy. The process of bone remodeling engages actions of bone formation and resorption, these processes are done by bone cells osteoblasts and osteoclasts. The hormonal changes also act as inhibitors and/or activators of these cells,and levels of deformation. The aim of this dissertation is the development of a numerical-computational model that allows simulating the behavior of bone subjected to loads. There is one exemple of simulation of the orthodontic treatment as an application of the teory. The Finite Element Method is used for discretization and resolution of the equations of equilibrium; the constitutive equations are solved by algorithms of the mathematics programming. The region of admissible generalized stress, in turn, occurs naturally in the approach when the shape of the thermodynamic potential of dissipation is known before hand. The work shows that it is possible to formulate constitutive models for materials live in the focus of the thermodynamic teory, applying techniques and concepts of well-established convex analysis and optimization. It is shown that for the model in study, the dissipation potential can be obtained from the resolution of an optimization problem by the technique of Lagrange multipliers. The simulations were performed with a program developed in the programming language FORTRAN which could analyze the distribution of stresses, strain, stiffness and density in the bone matrix using a post processing in the software Paraview ® using the open-source scripts VTK (Visualization Tool Kit).