Lagrangeano aumentado aplicado na resolução de subproblemas gerados pelo método de programação quadrática seqüencial

Abstract

Resumo: Estamos propondo a aplicação do algoritmo de Lagrangeano Aumentadocom penalidade quadrática, em problemas de programação quadrática convexos. Osproblemas de programação quadrática são compostos de função objetivo quadráticae restrições lineares (no nosso caso essas restrições serão de desigualdade). Essaimportante classe de problemas, será gerada através do algoritmo de programaçãoquadrática sequencial, onde a cada iteração o problema quadrático é formado fazendo-se, no ponto atual, uma aproximação quadrática da função Lagrangeana associadaao problema original e uma aproximação linear das restri¸c˜oes. Em seguida utilizamospenalização para resolver esses subproblemas usando o algoritmo de LagrangeanoAumentado com penalidade quadrática, o que resulta em uma sequência de problemas quadráticos irrestritos, que comparado com o problema original pode serconsiderado de mais fácil solução. Através dessa nova metodologia mostramos que,asseguradas algumas hipóteses, se a função Lagrangeano associada ao problemaoriginal é estritamente convexa (convexa), então a matriz hessiana da função Lagrangeano Aumentado 'e definida positiva (semidefinida positiva), logo satisfaz acondição de otimalidade suficiente de segunda ordem.

Abstract: We are considering the application of the Augmented Lagrangian algorithmswith quadratic penalty, to convex problems of quadratic programming. The problems of quadratic programming are composites of quadratic objective function andlinear constraints (in our case, only inequality constrints will be take in to accountinequality ). This important class of problems will be generated through the algorithm of sequential quadratic programming, where at each iteration the quadraticproblem is formed by, in the current point, a quadratic approach of the Lagrangianfunction associated with the original problem and the linearzation of approach ofthe constraints. After that we use penalization to solve these subproblemas usingthe Augmented Lagrangian algorithms with quadratic penalty, what results in asequence of inconstrined quadratic problems, that compared with the original problem can be considered of easier solution. Through this new methodology we showthat, under some hypotheses, if the Lagrangian function associated with the originalproblem is strict convex (convex), then the hessian matrix of Augmented Lagrangianfunction is defined positive (semidefined positive), then satisfies the suficient condition optimality of second order.