Modelagem constitutiva de solos utilizando potenciais termodinâmicos generalizados

Abstract

Resumo: Na teoria clássica da plasticidade, o comportamento elastoplástico de solos, argilas e outros geomateriais costuma ser descrito a partir da relação constitutiva elástica, da superfície de plastificação, da lei de fluxo e da lei de endurecimento. Recentemente, uma outra abordagem baseada na teoria da termodinâmica com variáveis internas tem sido aplicada à modelagem constitutiva dos geomateriais. Nessa abordagem, o comportamento constitutivo é descrito a partir de dois potenciais termodinâmicos: uma função de energia e uma função de dissipação. O objetivo do presente trabalho é desenvolver um modelo numérico-computacional que permita simular o comportamento elastoplástico de solos a partir da definição de dois potenciais termodinâmicos com o auxílio de técnicas da análise convexa. Um modelo elasto-idealmente-plástico com critério de escoamento de Drucker Prager e um Modelo Cap foram formulados segundo o enfoque termodinâmico. A formulação da equação constitutiva a partir de potenciais termodinâmicos e de técnicas da análise convexa permitiu escrever o problema constitutivo sob a forma de um problema de programação matemática. A formulação variacional em incrementos finitos do problema de valor de contorno foi relacionada a um princípio de mínimo, no qual se reconheceu um problema de otimização. Dessa forma, o procedimento de solução adotado combinou o método Quase-Newton para a resolução do problema de equilíbrio global e um algoritmo de programação matemática para a resolução da equação constitutiva elastoplástica. A discretização espacial foi obtida aplicando o Método dos Elementos Finitos. Algumas simulações foram realizadas com o programa desenvolvido e os resultados obtidos mostraram-se condizentes com resultados numéricos e experimentais apresentados na literatura. A abordagem utilizada apresenta uma série de vantagens, entre as quais se destaca a obtenção de resultados que não violam as leis da termodinâmica. Além disso, a formulação adotada para a equação constitutiva permite determinar as taxas de deformação plástica em pontos singulares da função de escoamento sem o uso de ferramentas especiais. Por fim, não houve necessidade de utilizar alguma matriz tangente para a solução do problema.

Abstract: The standard procedure to construct elastic-plastic models for soils, clays and other geomaterials is to specify the elasticity law, yield condition, flow rule and hardening law all independently of each other. Recently, another approach based on the theory of thermomechanics with internal variables is being used in the constitutive modeling of geomaterials. In this approach, the whole of the constitutive structure is determined from just two thermodynamic potentials: an energy potential and a dissipation function. The purpose of this work is to present a formulation for the plasticity modeling of geotechnical materials in which the entire constitutive response is specified through two thermodynamic potentials with the help of convex analysis. The theory presented is applied to the Drucker Prager model (without hardening) and to the Drucker-Prager Cap Model. The constitutive problem is written as a mathematical programming problem and solved through a non linear mathematical programming algorithm. A finite dimensional optimization problem is identified in the minimum principle derived from the time-discretized version of the variational formulation of the initial boundary value problem. Therefore, a solution procedure combining mathematical programming algorithms with the Quasi-Newton Method is adopted. Spatial discretization is performed by means of the Finite Element Method. Examples are given to illustrate the proposed approach and the results of the numerical computations are compared with numerical and experimental results from literature. One of the advantages of the present approach is that the results obtained satisfy the fundamental laws of thermodynamics. In addition, once the constitutive model is cast in a convex analytic setting, plastic deformations can be determined in singular points of the yield function without the use of special techniques. Finally, there's no need to use a tangent matrix in the solution procedure.