Verificação de soluções numéricas em problemas difusos e advectivos com malhas não-uniformes

Abstract

Resumo: Este trabalho apresenta um estudo do efeito do tipo de refino de malha sobre a ordem do erro de discretização de soluções numéricas, usando malhas não-uniformes, em problemas unidimensionais e bidimensionais, da dinâmica dos fluidos. Todos os modelos matemáticos resolvidos neste trabalho possuem solução analítica, desta forma, os desenvolvimentos e conclusões ficam respaldados porque estão baseados nos valores exatos do erro numérico. Os problemas resolvidos são problemas unidimensionais e bidimensionais que apresentam os principais efeitos encontrados nos problemas de dinâmica dos fluidos. O objetivo geral deste trabalho é estimar a priori o erro de discretização e sua ordem, para os modelos matemáticos apresentados, e estimar a posteriori o erro de discretização observado nas soluções numéricas. Os métodos numéricos empregados são: o método das diferenças finitas e o método dos volumes finitos, onde as estimativas de erro são baseadas em soluções numéricas obtidas em duas ou mais malhas de tamanhos diferentes. Com relação às análises a priori, são apresentadas equações mais precisas para o erro numérico de aproximações comuns no método dos volumes finitos, em configurações de malha uniforme, não-uniforme e em progressão geométrica. Estas configurações permitem refino local de malha e são base para discretizações em malhas nãoestruturadas. Com relação às análises a posteriori, são apresentadas as análises da ordem do erro para várias configurações de malha grossa e malha fina, envolvendo variáveis locais e globais. A principal conclusão é que quando se faz uso de malhas não-uniformes para a discretização de domínios, em um grande número de casos, a ordem do erro da solução numérica tende à ordem teórica, obtida a priori, quando as malhas mais finas são obtidas com o refino uniforme da malha inicial, isto é, quando os elementos da malha não-uniforme inicial são divididos em partes iguais para a obtenção das malhas mais finas. Desta forma, as estimativas baseadas na ordem do erro teórica ou na ordem do erro prática serão mais confiáveis. Neste texto são discutidos temas importantes no estudo dos erros numéricos para o método das diferenças finitas e para o método dos volumes finitos, como por exemplo, aproximações de segunda ordem aplicadas em discretizações não-uniformes, refino direcional de malhas, pós-processamento de variáveis locais e globais, entre outros. O último problema teste apresentado neste trabalho é a advecção/difusão bidimensional com termo fonte, que foi desenvolvido com o método das soluções fabricadas, e que é uma proposta de "problema teste" para estudos futuros de dinâmica dos fluidos computacional.

Abstract: This work is a study concerning the effect of grid refine type about the numerical solutions discretization error order, through non-uniform grids, in fluid dynamics onedimensional and bi-dimensional problems. All mathematical models solved in this search have analytical solution. Based in the numerical error exact value, the developments and conclusions are then well supported. The solved problems are one-dimensional and bi-dimensional showing the main effects usually found in fluid dynamic problems. The main goal of this search is preestimate the discretization error and its order, according to the mathematical models showed, and post-estimate the discretization error as seen in the numerical solutions. Numerical methods used are the finite difference method and finite volume method, where error estimates are based in numerical solutions obtained by two or more grids of different sizes. Concerning the previous analysis, there will be given more accurate equations to the common approximations numerical error in the finite volume method, in uniform and non-uniform grid configurations. These configurations permit grid local refine, and are the basis for non-structured grid discretizations. Concerning the posterior analysis, there will be given error order analysis for many configurations of thick and thin grid, according to local and global variables. The main conclusion is that when using non-uniform grids to domains discretization, in a great number of cases, the numerical solutions error order tend to the theory order, gained previously, when thinnest grids are obtained through uniform refine of the initial grid, i.e., when the initial nonuniform grid elements era equally divided to obtain thinnest grids. Therefore, the estimative based in the theory error order or practical error order will be more accurate. In this paper are discussed important subjects for the study of numerical errors to the finite difference method and to the finite volume method, as, for example, second order approximations applied to nonuniform discretizations, directional grid refines, pos-process of local and global variables. The last test problem showed in this search is the bi-dimensional advection/diffusion with source term, that was developed with the exact solution, which is a "test problem" to future studies of computational fluids dynamic.