Modelagem numérica da equação de condução de calor unidimensional e bidimensional em regimes permanente e transiente com o método SPH e otimização de hiperparâmetros via aprendizado de máquina

Abstract

Resumo: O desenvolvimento de métodos numéricos que assegurem simultaneamente precisão, estabilidade e adaptabilidade permanece como um desafio fundamental na modelagem defenômenos físicos complexos. Nesse contexto, o método Smoothed Particle Hydrodynamics(SPH), devido à sua formulação Lagrangiana livre de malha, tem se destacado comouma abordagem poderosa para problemas difusivos e térmicos. Esta tese apresenta umaimplementação abrangente do método SPH aplicada à solução da equação de Poisson e daequação de condução de calor em regimes permanente e transiente, em domínios unidimensionais e bidimensionais (RP1D, RP2D, RT1D e RT2D), sob condições de contornode Dirichlet e Neumann. Seis funções suavizadoras — Spline Cúbica, Spline Quártica,Spline Quíntica, New Quártica, Lucy e Gaussiana — são avaliadas por meio de variaçõessistemáticas do parâmetro de suporte. Os resultados numéricos são validados com soluçõesanalíticas e com o Método dos Volumes Finitos (MVF), alcançando erros médios inferioresa0,1?C em casos lineares. Como principal contribuição, propõe-se uma estrutura automatizada para a seleção da função suavizadora ótima por meio de técnicas de aprendizado demáquina. Modelos de Extreme Learning Machine (ELM), Multilayer Perceptron (MLP),Random Forest e XGBoost foram treinados com uma base de dados composta por 26.064simulações independentes. Métodos baseados em ensemble apresentaram desempenhosuperior, com acurácias acima de 93% em todos os cenários; o Random Forest atingiu99,4% no caso RT2D, enquanto o XGBoost alcançou 98,5% no caso RP2D. Em contraste,os modelos ELM e MLP demonstraram maior sensibilidade à complexidade do problema,especialmente em regimes transientes. A superioridade estatística dos modelos ensemblefoi confirmada por meio dos testes de Friedman e Nemenyi post-hoc, comp<0,05. Aelevada acurácia de classificação indica que as configurações preditas correspondem deforma confiável às configurações ótimas de referência, preservando a fidelidade física dasolução SPH e eliminando a necessidade de calibração manual. A abordagem propostareduz o custo computacional em até cinco ordens de magnitude, substituindo processosde calibração que demandam várias horas por inferências realizadas em menos de umsegundo. Os resultados demonstram que a integração entre o método SPH e técnicas deaprendizado de máquina constitui uma estratégia eficiente, robusta e orientada por dadospara a modelagem numérica preditiva, com elevado potencial de extensão para outrosmétodos livres de malha e aplicações multifísicas mais complexas

Abstract: The development of numerical methods that ensure accuracy, stability, and adaptabilityremains a fundamental challenge in the modeling of complex physical phenomena. Inthis context, the Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) method, due to its mesh-freeLagrangian formulation, has emerged as a powerful approach for diffusive and thermalproblems. This thesis presents a comprehensive implementation of the SPH method forsolving the Poisson equation and the heat conduction equation in steady-state and transientregimes, in both one- and two-dimensional domains (RP1D, RP2D, RT1D, and RT2D),under Dirichlet and Neumann boundary conditions. Six smoothing kernels — CubicSpline, Quartic Spline, Quintic Spline, New Quartic, Lucy, and Gaussian — are evaluatedthrough systematic variations of the support parameter. Numerical results are validatedagainst analytical solutions and the Finite Volume Method (FVM), achieving averageerrors below 0.1,?C in linear cases. As the main contribution, an automated framework isproposed for selecting the optimal smoothing kernel using machine learning techniques.Extreme Learning Machine (ELM), Multilayer Perceptron (MLP), Random Forest, andXGBoost models were trained on a dataset comprising 26,064 independent simulations.Ensemble methods demonstrated superior performance, with accuracies above 93% acrossall scenarios; Random Forest achieved 99.4% in the RT2D case, while XGBoost reached98.5% in the RP2D case. In contrast, ELM and MLP exhibited greater sensitivity toproblem complexity, particularly in transient regimes. Statistical superiority of ensemblemodels was confirmed using Friedman and Nemenyi post-hoc tests (p<0.05). The highclassification accuracy indicates that the predicted configurations reliably correspondto optimal reference settings, preserving the physical fidelity of the SPH solution whileeliminating the need for manual calibration. The proposed approach reduces computationalcost by up to five orders of magnitude, replacing calibration procedures that require severalhours with inference times of less than one second. These results demonstrate that theintegration of SPH with machine learning provides an efficient, robust, and data-drivenframework for predictive numerical modeling, with strong potential for extension to othermesh-free methods and complex multiphysics applications