Tunneling phenomena within Nelson’s stochastic quantization

Abstract

Resumo: A quantização estocástica é uma formulação da mecânica quântica que descreve o movi mento de uma partícula como um processo estocástico e que é unitariamente equivalente ao formalismo padrão no espaço de Hilbert. Ao reformular a dinâmica quântica em termos de um par de equações diferenciais estocásticas, a teoria oferece uma descrição complementar e intuitivamente atraente, com uma estrutura matemática estreitamente relacionada à mecânica clássica. Nesse contexto, a noção de trajetória estocástica fornece um meio natural de definir e calcular quantidades físicas que são de difícil tratamento na mecânica quântica convencional, como o tempo médio que uma partícula leva para atravessar uma barreira de potencial. A definição do tempo de tunelamento é notoriamente desafiadora na mecânica quântica devido à ausência de um operador tempo auto-adjunto. No en tanto, ao combinar a quantização estocástica de Nelson com a teoria de tempos médios de primeira passagem, torna-se possível definir um tempo médio de tunelamento. Para estados de espalhamento, a definição estocástica de tempo médio de passagem através de uma barreira (ou poço) quadrada oferece percepções valiosas sobre o tempo envolvido em fenômenos quânticos, reproduzindo o limite clássico para barreiras desprezíveis e o crescimento exponencial característico do regime de barreiras opacas. No contexto de estados ligados em um potencial de poço duplo, o tempo de tunelamento obtido a partir da quantização estocástica apresenta uma conexão notável com o semi-período quântico de oscilação de um estado não estacionário inicialmente localizado em um dos poços. Esses dois tempos estão relacionados por um fator de proporcionalidade que tende a p/2 no limite de barreiras opacas, independentemente da forma específica do potencial. O problema da inversão da amônia também mostra excelente concordância com as previsões da mecânica estocástica para a frequência de tunelamento, reforçando a robustez do método. Além disso, simulações das trajetórias estocásticas fornecem naturalmente a distribuição completa dos tempos de tunelamento, a qual exibe a cauda exponencial típica de processos de primeira passagem. Em conjunto, este trabalho demonstra um exemplo concreto das vantagens ainda pouco exploradas da quantização estocástica e destaca seu potencial como uma ferramenta poderosa para a análise e interpretação de fenômenos quânticos

Abstract: Stochastic quantization is a formulation of quantum mechanics that describes the motion of a particle as a stochastic process and is unitarily equivalent to the standard Hilbert-space formalism. By recasting quantum dynamics in terms of a pair of stochastic differential equations, the theory provides a complementary and intuitively appealing picture with a mathematical structure closely related to classical mechanics. In this framework, the notion of a stochastic trajectory offers a natural way to define and compute physical quantities that are otherwise difficult to address in standard quantum mechanics, such as the mean time a particle spends tunneling through a potential barrier. The definition of a tunneling time is notoriously challenging in quantum mechanics due to the absence of a self-adjoint time operator. However, by combining Nelson’s stochastic quantization with the theory of mean first passage times, it becomes possible to define a mean tunneling time. For scattering states, the stochastic mean passage time across a square barrier (or well) offers valuable insights into the time elapsed in quantum phenomena, reproducing the correct classical limit for negligible barriers and the exponential growth characteristic of the opaque barrier regime. In the context of bound states in a double-well potential, the tunneling time obtained from stochastic quantization exhibits a striking connection with the quantum-mechanical half-period of oscillation of a non-stationary state localized in one well. These two times are related by a proportionality factor approaching p/2 in the opaque-barrier limit, independently of the detailed shape of the potential. The ammonia inversion problem also shows excellent agreement with the stochastic predictions for the tunneling frequency, reinforcing the robustness of the method. Moreover, simulations of stochastic trajectories naturally yield the full distribution of tunneling times, which displays the expected exponential tail characteristic of first-passage processes. Altogether, this work demonstrates a concrete example of the unexplored advantages of stochastic quantization and highlights its potential as a powerful tool for the analysis and interpretation of quantum phenomena