Sincronização de fase e frequência em redes de osciladores de fase com acoplamento mediado pela difusão de uma substância

Abstract

Resumo: A emergência de ordem temporal em sistemas complexos e frequentemente modelada por osciladores de fase acoplados globalmente. No entanto, em sistemas biológicos e físicos reais, a interacao e muitas vezes mediada por substancias químicas que se propagam no meio, impondo restrições de localidade e geometria. Esta dissertação investiga a dinâmica de sincronizacao no modelo de Kuramoto com acoplamento nao local mediado por um campo difusivo em domínios finitos. Emprega-se a aproximacao do limite adiabatico, na qual a escala de tempo da difusão e muito menor que o período de oscilacão, reduzindo a equação de difusão a uma equaçao de Helmholtz. As soluções são obtidas via formalismo de funções de Green para quatro geometrias com condições de contorno de Dirichlet: segmento de reta, quadrado, disco e anel bidimensional. As simulações numericas revelam que, para as geometrias com simetria rotacional (disco e anel) e para o segmento de reta, a transição de fase ocorre próximo ao valor crítico teórico do acoplamento global (Kc ~ 1). Em contraste, identifica-se para geometria quadrada, que a quebra de simetria pelos vertices absorventes eleva o acoplamento necessório para sincronização robusta para K & 3. Alem disso, anólises de estabilidade mostram que, ao aumentar a area do domínio, o quadrado perde coerência por meio de um decaimento em degraus, sugerindo uma fragmentacao quantizada do cluster sincronizado, diferentemente do decaimento suave observado no disco. Observou-se tambem que a sincronizacao de frequencia precede e estabiliza-se mais rapidamente que a sincronizacao de fase nas regioes supercríticas. Conclui-se que, em sistemas mediados por difusão, a geometria do domínio e as condicoes de contorno determinam nao apenas o ponto crítico, mas tambem a estabilidade dos estados coerentes.

Abstract: The emergence of temporal order in complex systems is frequently modeled by globally coupled phase oscillators. However, in real biological and physical systems, the interaction is often mediated by chemical substances propagating through the medium, imposing locality and geometric constraints. This dissertation investigates the synchronization dynamics in the Kuramoto model with non-local coupling mediated by a diffusive field in finite domains. The adiabatic limit approximation is employed, in which the diffusion time scale is much smaller than the oscillation period, reducing the diffusion equation to a Helmholtz equation. Solutions are obtained via the Green’s function formalism for four geometries with Dirichlet boundary conditions: line segment, square, disk, and two-dimensional annulus. Numerical simulations reveal that, for geometries with rotational symmetry (disk and annulus) and for the line segment, the phase transition occurs close to the theoretical critical value of global coupling (Kc & 1). In contrast, for the square geometry, it is identified th at the symmetry breaking caused by absorbing vertices increases the coupling required for robust synchronization to K & 3. Furthermore, stability analyses show that, as the domain area increases, the square loses coherence through a stepwise decay, suggesting a quantized fragmentation of the synchronized cluster, unlike the smooth decay observed in the disk. It was also observed that frequency synchronization precedes and stabilizes more rapidly than phase synchronization in supercritical regions. It is concluded that, in diffusion-mediated systems, the domain geometry and boundary conditions determine not only the critical point but also the stability of coherent states.