Análise não linear geométrica estática de treliças espaciais pelo método dos elementos finitos posicional

Abstract

Resumo: O presente trabalho desenvolve a formulação do Método dos Elementos Finitos Posicional (MEFP) para o estudo do comportamento não linear de treliças espaciais submetidas a carregamentos estáticos. A formulação é baseada em conceitos variacionais do princípio da energia potencial total estacionária. Diferente do Método dos Elementos Finitos (MEF) convencional a formulação posicional adota como variáveis do problema as posições nodais no espaço, ao invés de deslocamentos nodais em um referencial fixo no espaço. A formulação posicional é não linear por definição, já que a solução do problema exige à aplicação de técnicas de solução numéricas incrementais, como o Método de Newton-Raphson (N-R), Método do Comprimento de Arco (MCA), dentre outros métodos. Neste trabalho foram implementados e comparados seis métodos de solução distintos, com o objetivo de avaliar a eficiência computacional de cada método. A não linearidade geométrica considerada é referente a determinação da posição de equilíbrio da estrutura na configuração deformada. Para o desenvolvimento da formulação foram utilizadas as medidas de deformação de Green, Hooke, Almansi, Biot e Hencky, a fim de comparar os resultados obtidos. A implementação computacional é realizada utilizando técnicas de Programação Orientada a Objetos (POO) na linguagem de programação Python. A POO permite criar um algoritmo modular e organizado, em que cada parte do algoritmo é realizado internamente por métodos e propriedades do objeto instanciado. Isso facilita a reutilização, manutenção e expansão do código, permitindo a entrada de dados por formatos padrões, podendo ser feita pelo usuário ou até programas externos. Foram analisados exemplos clássicos de treliças planas e espaciais encontradas na literatura clássica, artigos e livros de não linearidade geométrica, com o intuito de validar o algoritmo desenvolvido. Também foram comparadas as medidas de deformação adotadas, o tempo de processamento e número de iterações necessário em cada técnica de solução numérica. Esse processo tem como objetivo validar o MEFP para a análise não linear geométrica estática de treliças espaciais, compreender o comportamento das medidas de deformação nos resultados e avaliar a eficiência computacional das técnicas de solução numéricas incrementais implementadas com a formulação proposta

Abstract: The present work develops the formulation of the Positional Finite Element Method (PFEM) for the study of the nonlinear behavior of space trusses subjected to static loading. The formulation is based on variational concepts of the principle of stationary total potential energy. Unlike the conventional Finite Element Method (FEM), the positional formulation adopts as problem variables the nodal positions in space, instead of nodal displacements in a fixed reference frame. The positional formulation is nonlinear by definition, since solving the problem requires the application of incremental numerical solution techniques, such as the Newton-Raphson (N-R) Method, Arc-Length Method (ALM), among others. In this work, six distinct solution methods are implemented and compared, with the objective of evaluating the computational efficiency of each method. The geometric nonlinearity considered refers to the determination of the equilibrium position of the structure in the deformed configuration. For the development of formulation, the Green, Hooke, Almansi, Biot, and Hencky strain measures are used to compare the results obtained. Computational implementation is carried out using Object-Oriented Programming (OOP) techniques in the Python programming language. OOP enables the creation of a modular and organized algorithm, where each part of the algorithm is internally executed by methods and properties of the instantiated object. This facilitates code reuse, maintenance, and expansion, allowing data input in standard formats, which can be provided by the user or even by external programs. Classical examples of planar and space truss found in classical literature, articles, and books on geometric nonlinearity are analyzed, aiming to validate the developed algorithm. The adopted strain measures, processing time, and number of iterations required in each numerical solution technique are compared. This process aims to validate the PFEM for static geometrically nonlinear analysis of space trusses, to understand the behavior of strain measures in the results, and to assess the computational efficiency of the incremental numerical solution techniques implemented with the proposed formulation