Método eficiente, robusto e acurado na simulação de um modelo de crescimento tumoral

Abstract

Resumo: Este trabalho apresenta o desenvolvimento, a implementação e a verificação de uma metodologia numérica eficiente para a simulação de um modelo de crescimento tumoral na fase avascular. O modelo matemático é composto por um sistema transiente de quatro equações diferenciais parciais, sendo duas delas não lineares, que descrevem as interações entre células tumorais, matriz extracelular, enzimas degradadoras da matriz e inibidores. Para a discretização do modelo, empregou-se o método das diferenças finitas, utilizando diferenças centrais no espaço e o esquema de Crank-Nicolson no tempo. Os termos não lineares foram tratados por meio da linearização via expansão em série de Taylor. A solução numérica foi obtida com o uso do método das diferenças finitas associado ao método multigrid, buscando aliar alta acurácia a um desempenho computacional eficiente. Averificação do código foi realizada com base em soluções analíticas fabricadas, e a técnica de múltipla extrapolação de Richardson foi utilizada para reduzir o erro de discretização, sendo os erros estimados por meio de estimadores confiáveis. Os resultados demonstram a superioridade do método multigrid em relação ao método singlegrid, com redução significativa no tempo de simulação e preservação da precisão numérica. A aplicação da técnica de extrapolação mostrou-se eficaz na diminuição dos erros e na robustez das estimativas, inclusive em problemas realísticos sem solução analítica conhecida. A análise das variáveis do modelo também permitiu avaliar o papel da haptotaxia na dinâmica de invasão tumoral e demonstrar a influência de parâmetros como o coeficiente ? na evolução espacial do tumor. As simulações numéricas obtidas contribuem para a compreensão dos mecanismos envolvidos na progressão tumoral e reforçam o potencial da modelagem matemática como ferramenta de apoio em contextos biomédicos

Abstract: This work presents the development, implementation, and verification of an efficient numerical methodology for simulating tumor growth in the avascular phase. The mathematical model consists of a transient system of four partial differential equations, two of which are nonlinear, describing the interactions between tumor cells, the extracellular matrix, matrix-degrading enzymes, and inhibitors. The model was discretized using the f inite difference method, applying central differences for spatial variables and the Crank Nicolson scheme for temporal discretization. The nonlinear terms were treated through linearization via Taylor series expansion. The numerical solution was obtained using the f inite difference method combined with the multigrid technique, aiming to achieve high accuracy with efficient computational performance. Code verification was carried out using manufactured analytical solutions, and the Repeated Richardson Extrapolation technique was applied to reduce discretization error, with reliable estimators used to assess the accuracy of the solutions. The results demonstrate the superiority of the multigrid method over the singlegrid approach, showing a significant reduction in simulation time while maintaining numerical accuracy. The application of extrapolation technique proved effective in minimizing errors and enhancing the robustness of the estimates, even for realistic problems without known analytical solutions. The analysis of the model variables also enabled the evaluation of the role of haptotaxis in tumor invasion dynamics and highlighted the influence of parameters such as the coefficient ? on the spatial evolution of the tumor. The numerical simulations contribute to the understanding of the mechanisms involved in tumor progression and reinforce the potential of mathematical modeling as a support tool in biomedical contexts