Estruturas fractais em sistemas hamiltonianos caóticos com aplicações em física de plasmas

Abstract

Resumo: Neste trabalho investigamos algumas propriedades do transporte de partículas em sistemas dinâmicos caóticos descritos a partir de um modelo de ondas de deriva e pelo mapa de Martin-Taylor. Em ambos casos estudados, a não uniformidade das regiões caóticas que aparecem nos espaços de fase é uma consequência do aparecimento de estruturas complexas de órbitas caóticas em sistemas dinâmicos. Essas estruturas são governadas pelo emaranhado homoclínico formado pelas intersecções das variedades invariantes provenientes de órbitas periódicas instáveis embutidas nas órbitas caóticas. Devido ao movimento das variedades, as trajetórias caóticas se tornam sensíveis às condições iniciais, ou seja, uma pequena perturbação pode levar uma órbita a escapar através de uma diferente saída, prejudicando a capacidade de prever o futuro do sistema. Em sistemas abertos, as trajetórias das partículas escapam para regiões bem definidas dos espaços de fase, desse modo determinamos as bacias de escape. A bacia de escape é formada por uma região do espaço de fase definida pelo conjunto de condições iniciais que escapam, ou deixam, determinada região do espaço de fase. Em modelos para tokamaks, a parede da câmara de confinamento é uma saída do espaço de fase para órbitas da borda do plasma. Quantificamos a fractalidade das fronteiras das bacias de escape, através da dimensão da fronteira fractal da bacia de duas saídas. A entropia da bacia e a entropia da fronteira da bacia, foram calculadas para verificarmos o quanto as bacias estão entrelaçadas. No caso das bacias de escape com três saídas, averiguamos a existência da propriedade de Wada, onde qualquer ponto que está sobre a fronteira de uma bacia de escape estará também simultaneamente sobre a fronteira das outras bacias. Quantificamos as bacias de Wada, aplicando o método da grade para verificarmos o quanto a propriedade está satisfeita nos sistemas. Palavras chave: Física de Plasma, Sistemas Hamiltonianos, Ondas de Deriva, Mapa Martin- Taylor

Abstract: In this work we investigated some properties of particle transport in chaotic systems described using a model of drift waves and by the Martin-Taylor maps. In both cases studied, the non-uniformity of the chaotic regions appearing in the phase space is a consequence of the appearance of complex structures of chaotic orbits in dynamic systems. These structures are governed by the homoclinic tangled formed by the intersections of the invariant manifolds stemming from unstable periodic orbits embedded in the chaotic orbits. Due to the motion of the manifolds, the chaotic trajectories become sensitive to the initial conditions, that is, a small perturbation can cause an orbit to escape through a different exit, impairing the ability to predict the future of the system. In open systems, the trajectories of the particles escape into well defined regions of the phase space, thus determining the basins of escape. They are formed by a region of the phase space defined by the set of initial conditions that escape, or exit, a certain region of the phase space. In models for tokamaks, the confinement chamber wall is an exit region of the phase space for orbits in the plasma edge. We quantify the fractality of the escape basin boundaries, through the fractal boundary dimension of the two basins of escape. The basin entropy and the boundary basin entropy were calculated to verify how much the basins are intertwined. In the case of the three basins of escape, we investigate the existence of the Wada property, where any point on the boundary of an basins of escape will also be simultaneously over the boundary of the other basins of escape. We quantify the Wada basins by applying the grid approach technique to verify how much property is satisfied in the systems. Keywords: Plasma Physics, Hamiltonian Systems, Drift Waves, Martin-Taylor Map